宝值(倍值)区间问题探究



宝值(倍值)区间问题探究

◇山东王晓云苏坤

近年高考中的函数题常出现以新定义为命题方向的信息型题目,给人以耳目一新的感觉,其中保值(倍值)区间问题具有一定的代表性.

保值(倍值)区间的定义:对于区间[a,b],若函数f(x)的定义域为[a,b]时,其值域也为[a,b],则称该区间为f(x)的保值区间;若x∈[a,b]时,其值域为[ka,kb](k∈N*),则称y=f(x)为“k倍值函数”,区间[a,b]为函数f(x)的“k倍值区间”．在具体的问题中,保值区间又有不同的表述形式,那么在解决具体的题目时,就要按照具体情况来分析．

1函数在定义域上单调递增

2函数在定义域上单调递减

①

②

由式①、②得

③

④

⑤

3函数在定义域上不具有单调性,在部分区间上具有单调性

图1

函数在x=0处无意义,故a、b同号.又函数值域为[0,+∞),[a,b]⊆[0,+∞),故a>0,所以0∉[a,b], 1∉[a,b],故有0

综上,不存在这样的保值区间．

4倍值区间问题

函数保值(倍值)区间问题的实质是函数“不动点”“稳定点”问题,因此首先考虑函数单调性,进而转化为对方程根的讨论,或者利用数形结合思想转化为函数图象的交点问题来解决,在解决具体问题中要灵活应用数学基本思想转化求解．

(作者单位：山东省寿光市寿光中学)