立体几何中的万能公式

◇ 甘肃 赵正委

(作者单位：甘肃省庆阳长庆中学)



立体几何中的万能公式

◇ 甘肃 赵正委

立体几何是绝大多数学生难啃的“硬骨头”,其空间概念的建立，点、线、面位置关系的判断,让很多学生望而却步．但是,只要在老师的指导下,学会类比、归纳,将知识化成块,将题型分成类,逐块击破,逐类消化,立体几何问题就不再可怕了．

多年来,高考对线线角、线面角、面面角,以及线线距离、线面距离的考查一直是重点,而且涉及到的题目都有一定的难度．下面给出一个重要公式,它可以帮助我们解决几类几何计算问题．

图1

|a|=m,|b|=d,|c|=n,

a与c所成角为γ(θ=γ或θ=π-γ),且

a·b=mdcosα,b·c=-dncosβ,a·c=ancosγ.

图2

下面是人教版高中数学《选修2-1》中一组形异质同的题目.

此为异面直线上两点间的距离公式.

图3

图4

此为异面直线间距离公式.

图5

此为求二面角的平面角计算公式.

图6

此为求异面直线所成的角(也是求直线与平面所成的角)计算公式.

图7

所以线段BD与平面α所成的角为30°.

此为另一个求异面直线所成角的计算公式.

图8

所以这条线段与这个二面角的棱所成角的大小为45°.

文中开始给出的公式称为“万能”,一点都不为过,它的用途非常广,将空间中线、面之间所成的角及距离问题一网打尽,虽然文章以解决教材中的问题为例来探究,但这只是它广泛用途的很小部分．此文意在抛砖引玉,研究教材,吃透教材,方可驾驭教材,新课改需要彻底改变教与学的方式,但教的背后钻研教材、整合教学内容、确保高效教学更需要坚守．

(作者单位：甘肃省庆阳长庆中学)