浅谈集合基本运算教学

作为高中数学的入门，集合具有基础性的作用。函数、数列、概率、逻辑关系、平面几何、不等式等都是在集合的基础上进行学习的，可以说，集合知识学习的优劣直接关系到学生高中数学学习的成败。本文主要谈谈集合基本运算方面的教学情况。

一、学生在集合基本运算方面存在的困难

1. 难于理解并集

对于交集的概念和运算，学生掌握起来比较容易，解题正确率高，在并集概念和运算的掌握方面，却不尽人意，频繁出错。

比如，有这样一道试题A：集合M={x|x是等腰三角形}，集合N={x|x是直角三角形}，求M N与M N。关于M N，学生的正确率较高，而M N的错误是五花八门：①M N=直角三角形或等腰三角形，②M N= ，③M N=等边三角形，④M N={等边三角形}，⑤M N={x|x是三角形}，⑥M N={x|直角三角形，等腰三角形}，⑦M N={直角三角形}，⑧M N={等腰三角形}。

2. 在补集运算方面存在困难

对于简单的补集运算，学生出错较少，而相对复杂的补集运算，学生出错率较高。

比如，有这样一道例题B：集合M={x|-2

二、造成学生集合基本运算错误的原因

1. 分析A试题的错误答案，主要产生于以下几个方面的原因

首先是数学中的并集与生活中的“或”混同，⑦和⑧就是由此产生。生活中的“或”常常是二选其一，但数学中的并集不是二选其一，是“和”、“所有”。此外，需要注意的是，“并”不一定意味着总数的增加，有子集、相等或空集的情况。

其次是对集合的表述不正确，①、③、⑥由此而生。集合有列举和描述两种表示法，描述法的格式为{x|x=x -2x=0}，大括号是必须的，大括号内包括三个要素，变量，竖线|，变量条件；列举法的格式为{0，2}，是用大括号把具体的元素括起来，中间用逗号隔开，上述例题的正确解答为{直角三角形，等腰三角形}或者是{x|x是等腰三角形或x是直角三角形}。

然后是不会求并集，②，④，⑤由此而生。等腰三角形与直角三角形的并集是什么，根据“和”或“所有”的关系，可以得知是等腰三角形或直角三角形，等边三角形是等腰三角形的一种，概念太小，三角形的概念太大，还有很多非直角也非等腰的三角形，至于 ，则更是不可能。

2. 分析B试题的错误答案，主要产生于以下几个方面的原因

首先，是由于粗心忽略掉全集。补集是在全集中求得，学生常常忽略掉全集的范围或者是自然而然代入其他全集的范围去求补集，从而导致答案的错误，比如答案①和②，就是将全集R无意识替换成Z所致。

其次，是集合的表述方式错误。比如答案③，漏掉了变量和竖线。这可能是没有准确掌握，在初始学习的时候就产生了障碍，也可能是粗心有所遗漏。因为集合表述方式而导致错误答案并不鲜见，这就要求教师在入门时一定要采取合理的方式明确讲解，即使以延长课时为代价，基础打不扎实，何以进行后面的学习。

然后，是小看等于号。比如答案①和④，④疏漏了等于关系，①则差之千里，但结果是一样的，皆错。很多学生或因为粗枝大叶，或因为对补集的概念认识疏漏。但别看只是一个等于关系，起的作用却不小，忽视其导致满盘皆输。

最后，是因为没有辨清数轴上的关系。比如答案⑤，错把0-3这个区间当成了正确答案。并不是封闭的区间就一定是交集，一定要认清这个区间是不是共有部分。

三、教学集合基本运算的对策

1. 运用恰当地教学方法，阐述交集、并集、补集的概念

首先是运用实例，排除生活知识的负迁移。关于交集的概念之“且”，与生活中差别不大，所以学生掌握起来相对容易。但关于并集的概念“或”，与生活中的“或”并不相同。这个时候，教师需要运用实例，为学生讲清数学语言与生活语言的区别：数学“或”是“所有”，举个简单的例子，M={1，2，3，}，N={4，5，6}，则M N={1，2，3，4，5，6}，而不是M N={1，2，3}或M N={4，5，6}；生活“或”是“择其一”，比如张三当班长或者是李四当班长，是在张三或李四中间有一个人当班长。运用生活实例，可以使学生明白差别之处，避免学生将生活知识负迁移，影响学习效果。

然后是采取密集训练法，让学生牢记全集的存在。在上面补集的问题分析中可以看到，学生对于全集存在疏忽或者无意识替代的情况，只有通过密集训练，不断地变换全集求补集，才能让学生将全集谨记于心，成为审题与做题第一步骤。举个简单的例子：已知M={x|-3

2. 巧妙运用图形，进行交集、并集和补集运算

图形具有直观的特点，很多在头脑里混乱不清的关系，通过图形可以一目了然地明确答案。在集合教学中，教师要培养学生利用图形解题的习惯，使学生善于运用数轴和韦恩图。在这个方面，教师可以从两处着手：

首先，在教学中，尽可能画图。目前很多课程实施了多媒体化，教师把很多知识点都做成课件，运用多媒体呈现出来，这减少了教师动手画图的时间和数量，自然也就不能对学生产生示范性的影响。数学教师在教学集合运算知识时，必须把板书重拾起来，一边讲解概念，一边举例，一边画图，既加深学生对概念的理解，也日渐渗透学生的思想，形成学生画图的习惯。

其次，端正学生对绘图的态度。很多学生认为画图不过是个工具，草草了事，在数轴中常常忽视端点，在韦恩图中常常只输入不多的元素，结果却常常根据这草图来得出答案，可想而知答案的错误率。即使图形只是求解的工具，不在试卷的分数上体现，也需要谨慎认真，因为其价值体现在答案的正确率上。

（作者单位：云南省德宏州陇川县第一中学）