几何光学中的矩阵方法

几何光学是基于几何学研究光学的基本方法。几何光学，尤其是矩阵方法在研究光学系统成像时有着巨大的优势。本文通过论述矩阵方法在几何光学中的应用，介绍描述傍轴光线成像的光学ABCD矩阵。同时进一步将矩阵方法拓展至非傍轴光线，得到描述任意光线成像的严格ABCD矩阵。

在光学研究中，当光波长远小于研究对象的尺寸时，通常会利用几何光学方法来研究光线的传播。几何光学中光线的传播遵循三个基本定律：1. 光在自由空间中沿直线独立传播；2. 光的折射定律；3. 光的反射定律。虽然几何光学忽略了光的波动性，无法解释干涉、衍射等物理现象，但是其在光学系统成像性质的研究中有着巨大的优势。

光学系统成像的核心是光学系统变换。1840年C. Gauss建立了高斯光学，用来研究理想光学系统傍轴成像（即满足傍轴近似的光线的成像）性质。傍轴近似下，光线与光学系统中心轴的夹角 很小，可以使用小角近似关系 ， 。在这种近似下，光学系统变换退化为线性变换，因此可以用矩阵方法来进行描述。矩阵方法最初是由R. A. Sampson引入几何光学，用来处理几何像差等问题错误！未找到引用源。。之后矩阵方法拓展至研究非傍轴成像，为非傍轴成像的研究提供了新的方法。

本文分为两部分，第一部分着重于傍轴近似下的矩阵方法，介绍ABCD矩阵对光学系统变换的描述。第二部分拓展至包括非傍轴光线的任意光线的传播，介绍并推导严格ABCD矩阵。

一 傍轴光线成像与矩阵

上述结论基于傍轴近似，研究的是理想光学系统的傍轴成像。然而实际成像系统中，非傍轴光线成像造成的影响往往是不可忽略的。非傍轴光线与傍轴光线往往不是成像于同一点，即非傍轴光线与傍轴光线成像之间存在差异，称之为几何像差。实际成像中，我们需要关注成像质量，即需要去衡量几何像差的大小。这种情况下，傍轴ABCD矩阵是无法解决的。我们需要引入可以描述非傍轴光线的ABCD矩阵，即严格ABCD矩阵。

二 任意光线成像与严格ABCD矩阵

对于任意光线的成像，我们希望同样能够用矩阵进行描述，同时能够保持与傍轴ABCD矩阵相似的形式。因此我们尝试去除傍轴近似，来得到严格的变换关系，即严格ABCD矩阵错误！未找到引用源。。

对于共轴光学系统，光线成像依旧可以分成自由空间传播、折射与反射三种情况。首先我们讨论折射情况。从几何学的角度，我们首先作出入射光线与折射光线所在直线。设折射点为 ，在入射光线所在的直线上作 ，在折射光线所在直线上作 ，同时作 到半径 的垂线，如错误！未找到引用源。

可以看出，球面折射和自用空间传播的严格ABCD矩阵与傍轴ABCD矩阵保持了形式上的一致性。特别的，当光线传播过程中满足傍轴近似是，严格ABCD矩阵（22）和（26）会退化为傍轴ABCD矩阵（11）和（6）。由于严格ABCD矩阵不仅仅依赖光学系统本身的几何性质，还依赖于入射光线的光线矢量，因此我们无法通过直接的矩阵乘法得到复杂系统的严格ABCD矩阵。然而我们可以利用严格ABCD矩阵对几何光学中光线的严格传播进行模拟。

三 总结

矩阵方法是几何光学中处理光学系统成像的基本方法。本文对当前几何光学中常用的矩阵方法进行了介绍与总结。传统的傍轴ABCD矩阵方法可以很好的描述高斯光学中的相关问题，放大率、拉格朗日-赫姆霍兹不变式等都可以由傍轴ABCD理论直接得出。然而由于傍轴ABCD矩阵的使用需要满足傍轴近似，非傍轴光线成像中的几何像差无法由传统傍轴ABCD得出。严格ABCD矩阵在保持了傍轴ABCD矩阵的同时，能够描述非傍轴光线的严格传播，虽然在形式上难以进行直接的计算，然而在计算机技术蓬勃发展的今天，严格ABCD矩阵为计算机模拟光线的严格传播提供了有效的理论基础。综上所述，矩阵方法是处理几何光学中光学系统成像的有效工具。

（作者单位：西安市第一中学）