除法初步认识的中美比较

本文拟定研究对象为北师大版小学数学二年级上册以及美国加州小学数学二年级教材。比较内容为两版教材中除法初步认识一课。通过罗列、对比与之相关的相似处和不同点，获取两个国家对《除法初步认识》教学上的不同信息，找出学生从数学表达情景、概括归纳、推理证明到记忆和程序化任务异同。

中国在课程设计上更偏重于数学学科特点，推理证明，知识效率，因此Cai通过研究，得出中国学生喜欢采用抽象的解题策略，符号化的表述方法，而美国学生更倾向于选择具体策略和画图的表示方法。其中画图策略解题和表述是运用具体思维的表现，而符号化是形象化思维在问题解决中的表现。Cai同时得出结论，较美国学生，中国学生解题策略相对单一，缺少多样化的解题策略。

一、教材设计

1、北师大版教材

北师大教科书在除法初步学习中，创设了三次分物活动。第一次“分物游戏”，让学生通过把小数目事物进行平均分的操作过程初步体会平均分的意义，积累活动经验；第二次“分苹果”，在具体的情境中，感受平均分的不同分法及最后结果的特点；第三次“分糖果”，是让学生体验把大数目物体平均分的过程与策略的多样性。

本文以第一课“分物游戏”小数目物品的平均分为比较对象，对比学习过程中，中国学生对除法初步学习的认知过程。

北师大教材创设了三幅猴子分桃的情境，第一幅描述了两只猴子要分四个桃子。第二幅描述了一种不平均的分配情况，一只猴子得一个桃子，另一只得3个桃子。第三幅图描述的是平均分桃子的情况。每只猴子得两个桃子，分得的个数一样多。

教材这一部分的设计目的在于整理学生对分配可能产生不同结果的种类，达到公平的结果就是分得的个数一样多，首次引入平均分的意图。在学生对新知识的认知中，为构建平均分模型奠定基础。

把12根萝卜平均分给3只小兔，保证平均分，可以怎样分。图片中展示男孩和女孩分配方案的差异。可以一个一个分，也可以两个两个分，充分感受平均分的过程以及过程的多样性，结果的一致性。教科书中选用了三种不同的方式进行分配，让学生用数学工具以及自己独立的操作解决风骨头的过程。体会分法的多样性。

2、加州教材

加州教材的在本单元学习之初就设立了学习目标，学生通过学习，能够运用连减和分一分找到相等的组。

第一部分教材直接设立学习目标，把8个模型按照每组两个分配，能分成几组？直接提出总数和已知的每组的个数，找出要通过几组才能分完8个模型。并在分完之后，直接写出除法算式。

美国教学在“除法初步认识”的一课的设计中，把8按照每组2个分配，看看几组之后能够完全分配完毕。指导思路为8连续减去2，学生需找到连续减去几个2才能分配完全，结果为0.把连减和除法紧密的结合在一起。思路为8里面包含几个2，便连续减去2，得到0之后，找出2的组数。紧扣乘法是相同加数的和这一知识结构。相同加数的和对应乘法，被减数与相同减数的差对应除法。并在学习之初，直接对应除法算式的书写。

教材中利用乐高模块作为工具为学生实际操作过程，第一道实际操作，让学生每两个模块为一组，看一看6里面有几个2。第二道找出12里面，每4个一组，有几个4.第三道找出15里面有几个5。

二、课程设计异同

1、活动中解决数学问题。

两本教材对初步认识除法，都充分运用数学活动，让学生在活动中体验到：只要是把一个整体平均分成若干份数量相等的部分，这个过程在数学上就可以用除法来表示。学生可根据实物均等的分配，经历平均分的操作过程，体会平均分的意义。

2、从具体实物到数学模块的抽象过程。

北师版教材中，第一、第二两个数学活动为孩子们生活中的实例进行。加州教材的第一数学活动也是贴近生活，用学生们喜爱的乐高模块为实例设计教学内容。乐高在学校教学器具中，更容易找到。北师版教材引用的实例为桃子和胡萝卜，这就需要教师和学生提前做好准备工作。乐高可以学生每人都能分到，并且乐高具有拼接性，从实际出发，更能体现分成相等个数，每组相等的个数更容易看成整体。而从实物进行数学高度抽象的过程中，北师版教材通过两个实物操作之后，就用数、图等方式进行直观的实物抽象，从具体分一分，到抽象分一分。加州教材没有进行这一过程，则是直接把每次乐高的分配过程对应除法算式。

3、教学内容设计差异

北师版教材第一课教学目标设计上仅提到经历把小数目实物进行平均分的操作过程，要求学生全程参与活动，讨论、交流体验平均分的过程，体验分法的多样性和结果的一致性，没有进行除法算式的学习。教材在除法初步认识的后续学习中，也没有直接提出除法与减法的关系。在教法上，我国更倾向于除法是乘法的逆运算这一方法。

加州教材直接把题目设计成“连减与除法”。从题目中就不难看出，除法与减法的关系，并在开篇就直接提出从总数中，减去相同的数，找到这样相同的数有几个。设计思路就是把除法看作相同减数的差。与乘法是几个相同加数的和这一知识遥相呼应。

基于我国教材的设计思路，似乎更想解决我国学生数学学习现状倾向于注重知识效率而忽略解决方法多样这一点，然而，随着学生继续学习除法，运用乘除法互逆的运算关系，便逐渐减少图解等问题解决策略的运用。加州教材的设计思路，倾向于找商的过程，没有用重墨描述乘除法互逆的运算关系，所以学生在后续的学习中，计算除法习题，运算速度慢。

（作者单位：成都理工大学附属小学）