浅谈一元二次函数的初高中衔接教学

初高中数学在难度、知识量和学习方式上都有很大差别。初中数学内容较通俗易懂，直观形象，对抽象思维能力要求不高。而高中数学教材较多的研究的是变量，需要学生具有较强的抽象思维能力。因此学生进入高中后，存在一定的学习困难。作为教师，有必要对初高中数学衔接教学进行研究。本文着重探讨一元二次函数的初高中衔接教学。

1 加强二次函数初高中衔接教学的必要性

1.1二次函数在高中数学具有举足轻重的地位。二次函数是高中数学的重要内容，它贯穿着几乎整个高中数学的教学内容，如集合、函数、不等式、三角函数、解析几何、导数等都有二次函数的身影。许多数学方法，如配方法、换元法、分类讨论法等都与二次函数有密切的关系。同时二次函数也是高考考查的重点，分析每年全国各地的高考试卷，或多或少有涉及到二次函数的相关知识或方法。

1.2初中二次函数内容较少，高中更丰富。初中与二次函数相关内容只有一元二次方程、二次函数的图像和性质。而高中还要掌握十字相乘法、根与系数的关系、一元二次不等式等内容。

1.3初高中对二次函数的要求上存在很大差异。初中只要求学生掌握一元二次方程的解法，二次函数图像与性质的简单应用，难度较小，要求不高。而高中二次函数的知识分散在其它内容之中，解题方法多变，考查方式灵活，难度增大。这使得很多学生的思维停留在初中上，给学生学习二次函数造成了很大的困难。

基于以上几个原因，教师很有必要加强对初高中二次函数衔接教学。

2 初高中二次函数学习的主要差异

2.1从两个二次到三个二次的提升。根据《全日制义务教育数学课程标准》，二次函数这部分内容的要求是：理解二次函数和抛物线的概念，会用描点法画出二次函数的图像，会用配方法确定抛物线的顶点和对称轴，会求抛物线的解析式，理解一元二次方程与二次函数的关系。而高中，在学习了集合之后，利用集合来定义函数，使函数的研究内容、研究方法和初中比有很大的提升。增加了一元二次不等式后，由初中的二次方程和二次函数的两个二次变为了高中的二次方程、二次函数、二次不等式的三个二次。这三个二次互相联系，密不可分，贯穿整个高中数学内容。

例1 已知关于 的不等式 的解集为 ，函数 在区间[-1，3]最大值为M，最小值为N，则M+N的值为

解：由不等式 的解集为 得， 和 是方程 的两根，由韦达定理求得 ，结合二次函数性质可得M+N= 。此题并不难，但它把三个结合在一起，可以巩固学生对知识的掌握，提高思维能力。

2.2从定量到变量的转变。初中的二次函数一般不含参数，但高中二次函数的题目往往含有参数，问题的结果与参数的取值范围有关，往往需要分类讨论。这样由初中的定量问题变为了高中的变量问题，知识难度加深了，解题思维复杂了，对学生的要求提高了。因此在教学中一定要做好这方面的衔接。

例2 已知函数 ，分别在下列闭区间的最大值和最小值：（1）[-1，1]，（2）[3，4]，（3）[1，4]

变式1：已知函数 ，讨论在区间 的最小值。

变式2：已知函数 ，讨论在区间 的最小值。

以上三个例子是二次函数在闭区间上的最值问题。通过这类例子，要让学生对二次函数形成高于初中的认识，并掌握这类题的解题方法。

2.3从显性到隐性的过渡。初中的二次函数问题，大多是单一的二次函数相关问题，较明显、直观。而高中的二次函数往往更复杂，更隐性，有些问题表面上看与二次函数无关，但都可以转化为二次函数问题来解决。

2.4从集中到分散的变化。初中有专门章节介绍二次函数知识，内容集中。但高中并没有专门的章节研究二次函数，而是分散在各个地方，是数学解题不可缺少的工具。比如数列中的有关最值问题；三次函数的导数问题；直线与圆锥曲线的交点问题；三角函数和概率统计问题等，都可以用二次函数来处理。

3高中数学二次函数教学应注意的几个问题

3.1加强二次函数基础知识、基本方法的教学。二次函数是高考考查的重要知识，因此让学生熟练掌握二次函数的基本知识和基本方法非常重要。二次函数的解析式、对称轴、顶点、图像、单调区间，与二次不等式、二次方程的关系等要让学生形成知识网络。许多重要方法，如配方法、换元法、分类讨论法、数形结合法都与二次函数密切相关，要通过练习让学生熟练掌握。

3.2注意集中与分散相结合的原则。在必修一函数部分，或在必修五不等式部分，可根据学生的实际情况，对二次函数进行集中的教学。也可在平时教学中穿插二次函数的知识与方法，提高学生的综合应用能力。

3.3注重学生思维能力的提升。初中的二次函数考查难度较小、形式单一、思维简单。但高中难度较大，题型复杂，更注重抽象思维。不少学生进入高中后，不适应这种思维的变化，给学习带来困难。教师要让学生通过二次函数的再学习，对二次函数有更深入、更广泛的认识，提升学生的思维能力。

综上所述，初高中的二次函数从各个方面都发生了很大的变化。教师要根据这种变化，充分做好初高中的衔接教学，让学生顺利的学好高中的二次函数知识。

（作者单位：福建省三明市第九中学）