对高中数学立体几何解题方法的一些总结

因为空间性和逻辑性的特征，解立体几何对学生来说相对较难，本来是中等难度的题型，学生偏偏视作了高难度，因此，需要教会学生一些解立体几何的方法，常用的方法有数形结合方法、向量方法、割补方法，恰当应用，可以化难为易。

立体几何研究的是形，是空间的形，超脱了学生日常的平面观测与思维，给学生造成了不小的困扰，在学习立体几何时，学生听是听明白了原理和解题方法，看着答案也能琢磨清楚解题过程，可一旦自己动手，便无所适从，逐渐形成了立体几何恐惧症。然而立体几何是高中数学的一个重要板块，不能不予以掌握，而且在高考题中，关于立体几何的考察普遍不是高难度，这意味着立体几何题本是可以拿分的题，不是失分题，因此，学生必须对立体几何解题熟悉起来。本文根据日常解题经验，总结出一些解题的常用方法，以求对学生有所助益。

一、数形结合方法

所谓数形结合方法，是把代数中的数和几何中的形结合起来解题，用形解数，用数解形。用于立体几何中，主要是把形转化为数与把数回归到形两个过程，通过对数进行逻辑分析和运算，解答出立体几何问题。

例1：有一长为4cm、宽为3cm、高为2cm的长方体实心木块，如图1，一只小虫在A点，食物在C’点，怎样爬行吃到食物路程最短？

分析：有的学生乍一看此题，容易啊，两点之间直线最短，提笔连接AC’，煞费苦心地做了辅助线AC，求出AC’的距离为=。虽然说高中立体几何不会太难，但也不会如此容易，这些学生忽略了此题的关键词“实心”，小虫是不能从里面爬行的，只能沿着表面爬行。有的学生注意到了“实心”二字，却在解题时想当然，最短距离应该是一条走原来的边，一条走直线，于是求出了4+、2+、+3三段距离，在一番颇为费事的比大小之后，得出了最短距离为7，即2+。有的学生则认为取中点后的连接线是最短的，做了大量的计算与比较。这些都是不正确的，是南辕北辙之路。此题的正确思路是将立体几何转化为平面几何，利用代数求解，将最短距离问题转化为数的比对。如何将立体几何转化为平面几何和数呢，有两个思路，一是在空间中寻找平面，显然这个题不甚合适，二是将立体展成平面，此题可以也只能用这个思路。首先是将右侧面展开到底面上，AC’的距离为=，AC’交CD于E；然后是将上面展开到前面，AC’的距离为=，AC’交A’D’于F；之后是将右侧面展开到前面，AC’的距离为=，AC’交DD’于G。通过对、与进行比较，可以得知最小数值为，也就是说最短距离为，是将上面展开到前面的距离，这个距离远小于任意一个错误答案，用事实说明了那些解题方法的不可取。据此，小虫应该是先沿着AF爬行，再沿着FC’爬行，爬行路程最短。

解答：路径一：AC’==cm

路径二：AC’==cm

路径三：AC’==cm

>> 最短距离为cm

当把A’B’C’D’展开到ADA’D’时，连接AC’，交A’D’于F，小虫先爬行AF，再爬行FC’，路程最短。

二、向量方法

新课程改革后，高中数学教材也作了不少调整，其中最关键之处在强化向量与几何的结合。以前的高中数学，向量是向量，几何是几何，向量显得尤为突兀，只有一章向量的单独模块，看起来似乎没有实际用处，只是为学习而学习；解几何题时，数和形的泾渭截然分明。新课改倡导用向量解决几何问题，不仅让学生认知到了向量的作用，而且，用数和形的完美结合处理形体问题，降低了论证的难度，相对符合学生的认知水平。

例2：图2的三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，已知底边长为1cm，棱长为2cm，且BC的中点是M，如果在CC1上取一点N，使MN⊥AB1，求CN的长。

图2

分析：如果采取一般的解法，很明显，头绪繁琐，解答较难，浪费学生大量的时间和精力，也不见得解得出来。如果采取向量的方法，则容易很多，因为MN⊥AB1，那么·=0，在这个条件下，因为与都是未知的或者不是答案所需要的向量，所以，我们需要用已知向量或者是答案要求向量来表示与。根据题意得知，=+，=+，也就是说，（+）·（+）=0。到此，需要明确除之外的向量值，即、、的值。因为、与都在向量关系中，那么可以选取共B点但不共面的三个向量、、为基向量。然后根據正三棱柱这个条件中角的数值便可以用角和数表示出、、、。其中只有一个未知数，结合（+）·（+）=0便可求得答案。用向量来解这道题确实容易很多，不过关键点在于基向量的选择，如果选择不恰当，则会增加运算的难度和失误率。比如，这个题也可以选择不共点的向量作为基向量，但是相对来说对学生的要求有所提高。一般来说，如果能够选择共点的基向量，则不会选择异点的基向量。

解答：取、、为基向量：

MN⊥AB1，·=0，

=+，=+，

（+）·（+）=0

（+）·（+）=0

·+·+·+·=0

1cos120º1+1cos90º2+||cos90º1+|| cos0º2=0

||=cm

（作者单位：甘肃省华池县第一中学）