分类讨论思想在高中数学教学中的应用

所谓的分类讨论思想是指根据数学本质屬性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想，是数学学习中的一种重要数学思想。所以，在高中数学教学中，教师要从思想上认识到渗透数学思想对高效课堂的实现，对学生的发展所起到的作用，以为学生解题能力的提高做出相应的贡献。本文以分类讨论思想在高中数学教学中的应用为例对学生综合能力的培养做好基础性工作。

分类讨论思想是高中数学教学中常用的一种数学思想，是提高学生解题能力的重要思想，而且，该思想也逐渐成为了近年来高考中的热点。因此，为了提高学生的应试能力，也为了让学生在掌握数学思想中掌握数学的精髓，本文对分类讨论思想在函数、概率、数列、解析几何等教学中的应用为例，对如何渗透分类讨论思想，如何提高高中数学的学习效率进行论述。

1、分类讨论思想的应用价值

分类讨论思想是指根据某一种属性将数学对象划分为不同种类进行思考和讨论，那么，该思想的应用价值具体体现在哪些方面呢？

第一，分类讨论思想的应用能够克服思维的片面性。通常情况下，很多学生在思考问题时，常常会因为思维的影响在一种情况得出答案的时候就宣告该题已经解答完毕，结果一道题只能得到一半的分值。而分类讨论思想的渗透则能防止学生出现这种情况，能够培养学生思维的全面性，提高学生的解题能力。

第二，分类讨论思想的渗透能够提高学生的探究能力。数学作为一门科学性学科，有效探究能力的提高不仅能够推动数学学科的发展，而且，对学生能力的提高都有着密切的联系。所以，在实际教学过程中，我们可以通过分类讨论思想的渗透来引导学生从多角度进行分类思考，一来能够提高学生的数学学习质量，二来能够发散学生的思维，使学生在自主分类中掌握基本的数学知识，同时，也能大幅度提高学生的数学学习质量。

综上可以看出，有效的渗透分类思想是一个重要的数学方法，是培养学生全面思维的有效思想之一。所以，在高中数学教学中，我们要充分发挥这一思想的应用价值，并有意识的指导学生将其应用到各部分的教学之中，以大幅度提高学生的学习效率。

2、分类讨论思想在函数教学中的应用

函数是贯穿于整个数学学习的一项内容，而分类讨论思想在其中的应用价值也是不可磨灭的。一般那种情况下需要我们应用分类讨论思想呢？

例如：求函数y=logax（a>0且a≠1）的单调性。

这是一道基础性的函数题，之所以还是有学生丢分主要原因就是忘记分类，直接根据主观认识来进行求解，导致一些学生只考虑了01的现象，最终导致答案根本不完整。

又如：已知f（x）=-x2+4ax-3a2（0

分析该题，我们可以先根据题意画出一个相关的草图，并在图中设定[a+1，a+2]区分范围，之后，对二次函数坐标轴的位置进行分类讨论，即对x=2a的位置进行分类讨论。

综上两道练习题我们可以看出，分类思想与函数知识的结合是我们常见的题型，也属于基础型试题，如果学生不能有效的应用分类思想势必会容易丢分，会影响考试的成绩。

3、分类讨论思想在概率教学中的应用

概率是高中数学教学中的主要内容，而且，很多情况都需要进行分类讨论，比如：“至少”“至多”“含”“不含”等词语的问题大部分是需要进行分类讨论的。所以，在学习概率类的相关问题时，我们要有意识的渗透分类讨论思想，引导学生在问题思考和交流中形成分类意识，进而，逐步提高学生的数学学习能力。

例如：甲袋中有1只白球、2只红球、3只黑球；乙袋中有2只白球、3只红球、1只黑球。现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率。

这是一道等可能事件的概率题，也是应用分类讨论的典型性试题。所以，我们需要将该题分成三种情况进行思考，即：

情况一：两球都是白球。1/6 × 2/6=1/16

情况二：两球都是红球。2/6×3/6=1/6

情况三：两球都是黑球。3/6×1/6=1/12

综合这三种情况，我们可以求出两球颜色相同的概率是1/16+1/6+1/12=11/36。

又如：投掷一枚均匀的硬币4次，求出现正面的次数多于反面次数的概率。

在这一道题的分析中，我们需要对下面的几种情况进行分析，即：

情况一：正面为4次，反面为0次。

情况二：正面为3次，反面为1次。

情况三：正面为2次，反面为2次。

情况四：正面为1次，反面为3次。

情况五：正面为0次，反面为4次。

综合题意我们可以看出，只有情况一和情况二是满足正面次数多于反面次数的，所以，在解题时，我们需要对这两种情况进行分类讨论。

综上这两种情况可以看出，在概率教学中渗透分类讨论思想是非常有必要的，是直接影响数学解题效率的主要因素。所以，在概率教学时，教师要尽可能的教会学生如何思考和分析问题，这样才能有效的落实分类讨论思想，才能逐步提高学生的概率解题能力。

4、分类讨论思想在数列教学中的应用

数列中的分类讨论多涉及对公差d、公比q、项数 n 的讨论，特别是对项数n的讨论成为近几年高考的热点。比如：在等比数列前n项和的推导中，我们就将q分成了q=1和q≠1两种情况进行分析。可见，分类讨论思想与数列相关练习题之间的联系是非常紧密的。

例如：已知数列{an}满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1（n≥2），求{an}的通项公式。

这是一道有关数列的相关练习题，是关于对项数n进行分类的试题，即：当n=1时和当n≥2时两种情况，以确保本题能够活动完整的解答。

又如：已知数列{an}，a1=1，a2k=a2k-1+（-1） k，a2k+1=a2k+3k，k=1，2，3，…求：数列an的通项公式。

在该题的分类思考中，我们需要将k分为奇数和偶数进行分类讨论，这样不仅能够发散学生的数学思维，提高学生的解题能力，同时，也能为学生应试能力的提高做出贡献。

5、应用分类讨论思想中存在的问题

综上几点我们可以看出，分类讨论思想对培养学生全面的思维，对提高学生的数学学习能力都起着非常重要的作用。但是，在应用分类讨论思想中应注意哪些问题呢？

第一，分类要有依据。任何分类讨论不是学生主观臆断的，是有理有据的，否则，就会出现瞎分类或者是没有必要分类的现象出现。

第二，分类不能重复。很多学生在分类中出现了重复的现象，这样只会浪费时间，没有效率。

第三，分类不能遗漏。以“投掷一枚均匀的硬币4次，求出现正面的次数多于反面次数的概率”为例，分类时，很多学生常常会忘记“正面为4次，反面为0次”这种情况的存在，导致解答不完整。

6、教学启示

数学的学习是一个提出问题，分析问题解决问题的过程，分类讨论思想正体现了这么一个数学学习的过程。遇到一个实际的复杂问题，不要盲目的去做，这样往往不能对问题进行很好的解决。首先，将遇到的复杂问题与我们已经掌握的简单问题进行对比，提出该复杂问题不能得到解决的根本原因在什么地方。然后，对原复杂问题进行分析，根据已经掌握的知识对原复杂问题进行分解，得到简单的子问题。为了做到问题分解不重不漏，在分解时要具有条理性。最后，对分解得到的子问题进行求解，并对求解得到的子问题的解进行归纳总结，得到原问题的解。

7、小结

分类讨论是一种逻辑方法，同时又是一种重要的解题策略。总之，在应用分类思想的过程中，教师要有效的将分类讨论思想与数学教学的各个方面结合在一起，以确保学生在自主分析中形成全面的数学思维。

（作者单位：福建省莆田市第十三中学）