抽象函数的几类常见问题及解题方法

抽象函数是没有具体的解析式，只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数。因而显得特别抽象。所以解决抽象函数问题需要从函数的本质出发，考虑其定义，性质，加之解决抽象函数问题时常用的技巧——赋值法，换元法等，尽可能使抽象函数变得不再抽象。这类问题既能全面地考查学生对函数概念和性质的理解以及代数推理和论证能力，又能综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力. 对于发展学生的思维能力.尤其是抽象思维能力，渗透数学思想方法，起着非常重要的作用，所以备受各地模考、高考的青睐.因此有必要对抽象函数的解题方法和技巧进行归纳总结。以下是我归纳的常见的三类问题及其解法。

1.有关定义域问题

函数的定义域指自变量的取值范围。所以对抽象函数，而言，其定义域均指的是的取值范围。对于和，其中和的地位是等价的，故取值范围是一样的。

例 1. 函数 y= 的定义域为（ 一∞， 1] ，则函数 y=f [ 1 og 】 的定义域是 ————。

解析 ： 因为1 og相 当于 f （ x ） 中的 X， 所以1 og≤ 1， 得

例2.若的定义域为，则的定义域为 ___

解：由已知，的定义域为，根据例1的求法可求得：的定义域为，

的定义域为，从而的定义域为，即为。

2.有关求值问题

该类问题通常利用函数周期性：根据已知条件求该函数的周期，利用周期及另外一点处的函数值可快速求值。

例3.設定义在R上 的函数f（x）满足f（x）f（x+2） = 13，若 f（1）=2，则f（ 99） 等于（ ）

A.13 B.2 C D.

解：由于f（x）f（x+2）= 13，得f（x+2）=，将x换成x+2得f（x+4）=f（x），

即函数f（x）的周期为4.因此f（99）=f（-1）==，从而选C。

例4 .R上的奇函数y=f（x）有反函数y=f-1（x），由y=f（x+1）与y=f-1（x+2）互为反函数，则f（2009）=.

解析：由于求的是f（2009），可由y=f-1（x+2）求其反函数y=f（x）-2，所以f（x+1）= f（x）-2，又f（0）=0，通过递推可得f（2009）=-4918.

3.与单调性、奇偶性、周期性、对称性有关的问题

该类问题通常是判断或证明函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，采用方法一般是定义法：由定义出发，根据已知条件给出的结论适当赋值或者进行变换得出想要的结论。

例5.已知偶函数在单调递增，.若，则的取值范围是_______

解：

例6.设函数f’（x）是奇函数的导函数，f（-1）=0，当，则使得成立的x的取值范围是

（A） （B）

（C） （D）

【解析】记函数，则，因为当时，，故当时，，所以在单调递减；又因为函数是奇函数，故函数是偶函数，所以在单调递增，且.当时，，则；当时，，则，综上所述，使得成立的的取值范围是，故选A.

例7. 已知函数满足，若函数与图像的交点为，，…，，则（）

（A）0 （B）m （C）2m （D）4m

【解析】由得关于对称，

而也关于对称，∴对于每一组对称点，

∴，故选B.

（作者单位：福建省龙海程溪中学）