如何实现离散数学中图论的有效教学

离散数学是数学和计算机科学的核心课程，图论是其重要组成部分，在网络论，信息论，数据结构等学科有非常重要的应用。在实际教学中，由于教学内容和更抽象的定理和概念，很多学生掌握内容并不理想。因此，图论教学应该选择正确和恰当引导和教学方法。

离散数学的图论中一般包括图的基本概念，图矩阵表示，生成树，最短路径，几个特殊的图。目前图论的术语并不统一。本文仅将一些图论，离散数学教学的基本知识作为研究的一部分，研究其中的问题。

本文主要从以下几个方面进行了讨论：

一、重组课堂，寓教于乐。

图论与学生之前学习过的其他课程相比，在思想方法和解题逻辑上都有很大不同。因此对很多学生来说，很难在较短的学习时间内准确理解和把握所学的知识。但是与其他数学科相比，它又有很强学科背景，它本身就是产生于实践，那么在教学中为了能在教学中结合背景建立起抽象数学理论与现实的桥梁，特别是在新课引入和抽象概念讲解时，用一个实例作为一个引子可以起到很好教学效果。

对于图论，通过数学的“表象”，明确了内容的来龙去脉，把基本概念变抽象为具体，使学生掌握知识的基础坚实。例如，在教学无向图，有向图的时候，通过绘制特定的图像时，图像可将什么是无向圖和有向图显示给学生。由图可以明晰相对于无向图绘制和有向图许多相关的概念。通过相应的图形来说明图论的概念，这个概念的接受比在PPT演示给学生积累的只是一个简单的推理要好得多。有研究表明，人们对图像的存储容量是比在文本存储好得多。

探索知识的共同和相互渗透的内容，同时也优化教学内容是很重要的。作为集合理论的部分，是整个课程的基础，把本部分所描述的概念渗透进图论的概念。图是点集和边集组成的，各子图是其子集，由集合理论理解的抽象概括的图的内容。

笔者经常根据学生实际，实施趣味教学。譬如曾经举了以下例子说明实际问题可以转化为图的模型求解。传说楚汉时期的著名将领韩信不光是一个军事家还是一个数学天才。一次行军途中，他看到路边两位老农在争吵，上前了解原因，原来是为了分油不均而相持不下。他们手中有一个装满了油（ 容量 10 斤） 的油篓，以及一个容量 7 斤的空油罐和一个容量 3 斤的空油葫芦，但是3 个容器上都没有刻度，也没有测量工具。韩信略一思考，丢下一句话便匆匆上路，两位老农稍稍一愣，方然领悟。原来韩信说的是“ 葫芦归罐罐归篓”。“ 葫芦归罐罐归篓”的意思是：一次次的将油从油篓中倒向油葫芦，油葫芦装满就向油罐里倒，油罐装满就向油篓里倒，如此反复，若干次后，就可以将油均分为两份。韩信给出了该问题的一种可行解，那么还有没有其他办法呢？ 韩信的办法是不是最优的呢？

要找出所有的可行解以及最优解，就需要建立图的模型。我们可以将油所在的状态用一些有序 3元组表示，其中第一、二、三个分量分别表示当前时刻篓、罐、葫芦中油的储量。如初始状态为<10，0，0>，其他可能状态为 <7，3，0>，<7，0，3>，<1，6，3>，<3，7，0>，<3，4，3>，<5，5，0>，<5，4，1>，<5，3，2>，<2，5，3> 等等。然后将这些有序 3 元组看成顶点，从一个顶点A 到另一个顶点 B 连一条有向边当且仅当 A 所代表的状态可以一次到达 B 所代表的状态，这样得到一个有向图。图中从顶点<10，0，0> 到顶点 <5，5，0> 的所有有向路构成了所有可行解。而最短有向路则为最优解。

这样的问题生动而有趣，同时能反映图论的神奇，实际问题可以转化为图的模型求解。

通过引入这个有趣问题，调整难度，增强教学吸引力。

二、巧作比喻，助学助记

类比是掌握概念和知识的更有效方式。图论中许多概念，比如平凡图、n阶零图、完全图、正则图、竞赛图等，如果放在一起记忆这些枯燥文字，毫无疑问，掌握定义效果事倍功半。我们把几个通过图形绘制图表，生动地展示不同特性的各种图与对比各种图，帮助学生掌握概念。回路和通路定义哈密顿图和欧拉图的定义也可以用来类比，那么相比之下，学生将形成对这些概念更深刻的认识，使学生能够消化所学知识。

三、适当使用多媒体提高课堂效率

多媒体教学，教学图论部分就显得尤为重要。随着压缩教学时间，教学密度增高，特别紧张。而根据教学离散数学要求，不仅不能降低教学质量，而且要进一步提高。面对这些，除了教师要仔细甄别内容，而且还充分利用多媒体课件教学。多媒体不是一个简单的书上的概念和定理搬到PPT，多媒体用于显示特定的媒体和图像给学生，使得从图像和抽象之间的联系得到体验。当解释图概念时，每个图中可用特定图形介绍，从抽象的文字到图形会激发学生的感官，同时也提高了学生兴趣，帮助学生快速掌握图相关概念。有关Hamilton图知识，可以先用PPT展示了真实的十二面体。然后以学生找到路径的动画表示找到路径的过程，然后给予哈密顿图形的定义，以及哈密顿图，根据例子学生总结哈密顿图的性质，如何判断给定的模式是哈密尔顿。毕竟掌握这方面的知识，学生可以在计算机网络布局中应用哈密顿图。对它的理解由抽象到具体。介绍哈密顿，学生达到了哈密顿图的深刻理解。

四、以师生互动，促学生积极

教的过程中必须有学生参与，建立概念后，尽可能多地为学生展现这一概念的实际例子，加深对概念理解。使用一些真正有趣问题，引导学生去思考，然后给出解决数学方法，例如，谈到着色问题的时候，可以问我们国家地图有几种颜色的问题，用布线问题来说明平面图部分可以与实际问题相结合，谈论最短路径问题，也可以建立实际问题数学模型，对模型进行求解，学生往往对现实更感兴趣。

问班级让学生“生活在恐惧中”，以达到专门讲座的目的。这些有趣的问题，调动学生学习的积极性，不仅使学生克服抽象的离散数学的感觉，同时也调动了学生积极思考和积极参与的热情。

一个人在一定时间接受信息是有限的，所以我们不能指望一节课来解决所有问题，而是应该扩展教室空间，由学生自己操作信息终端-电脑，相对自主地安排学习进程，使其在好奇心控制下，体验学习的快乐，利用强大的计算机处理能力和沟通技巧，让学生进一步研究提供可能，使学生有能够自主探究问题的空间。

还充分利用网络资源，网络教室建设，也师生同既能学生的课件平台上观看一个平台进行交互，你也可以提问在线，你也可以做相关的练习。离散数学简介：课程设置，教学大纲，教案，课件，电子教案，习题，演示并上传到网络平台等重要的算法，并设置平台，为学生的交流，打开了一个公共邮箱，以满足学生课外学习的需求。网络平台让教师和学生在课堂上的交流不再仅仅45分钟，有自由的时间更多的机会。

五、结束语

离散数学有从特殊到一般抽象，而且也有从一般到特定的专门化。在图论教学中，先说说概念图的一般性质，之后说特殊图：欧拉图，汉密顿图，二部图，平面图。再从概念和特性介绍树。教学时，应注意特殊和一般的结合，既要教给学生学习一般属性进入具体的例子去，也教学生学会从具体事情抽象出一般规律。总之，老师教离散数学这门课，将继续研究新教学方法，认真把握教学规律，现代化教学方法手段，摆脱“填鸭式”教学，以促进“启蒙式”教学中，具体化抽象问题，如果教师有扎实理论基础，并有对学生高度负责的精神，那么必定能够找到一个更好的办法来调动学生学习的积极性，取得良好教学效果。

本文系江苏省普通高校研究生科研创新计划项目：1-平面图的边染色研究（编号：KYLX16_1265）。