明确复习重点探索有效途径———2016 年高考数学第2 轮复习建议( 上)



明确复习重点探索有效途径
———2016 年高考数学第2 轮复习建议( 上)

◇北京丁益祥(特级教师)

1第2轮数学复习重点

1.1夯实核心内容

数学高考考查的内容十分丰富,第2轮复习应在第1轮复习的基础上,聚焦如下核心内容:导数与函数、不等式,三角函数、三角变换与解三角形,数列与函数、不等式,概率统计与计数原理,空间图形与平面图形,解析几何与平面几何、平面向量.

1.2突出数学思想

高考历来重视对数学思想的考查,近年来的数学高考中着重考查7种数学思想:函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想、有限与无限思想、或然与必然思想.第2轮复习应更加突出数学思想的应用.

1.3发展理性思维

理性思维主要包括如下3个方面:从数和形的角度观察事物,提出有数学特点的问题(如唯一性、存在性、不变性、充要性等);运用归纳抽象、逻辑推理、运算求解、演绎证明、空间想象、直觉猜想等思维方法思考和分析问题;利用数学语言(文字语言、图形语言、符号语言等)准确地进行表述和交流.

历年的数学高考考试大纲都明确指出:数学是一门思维科学,是发展学生理性思维的主要载体.高中数学课程标准也不止一次地强调:数学对于培养学生理性思维具有其他学科不可替代的重要作用.据此,中学数学教学必须十分重视学生理性思维的培养,而作为着重检测学生思维水平和数学能力的数学高考,考查学生的理性思维是必然之举.因此,第2轮复习必定要肩负起发展学生理性思维的重任.

1.4培养学科能力

“考查基础知识的同时,注重考查能力”,历来是数学高考的命题原则.这里的能力包括2个方面:1)基本能力,是指空间想象能力,抽象概括能力,推理论证能力,运算求解能力和数据处理能力;2)发展性能力,包括应用意识和创新意识，具体表现为分析和解决实际问题的能力,以及面对创新问题富有新意的思维过程与解法设计.作为第1轮复习的延伸,第2轮复习中理应把提高学生数学能力作为主要的复习任务.

2第2轮复习有效途径

2.1通过重点专题复习夯实核心内容

全国各地的高三数学复习,大多是两轮制.第1轮以落实双基为主,适当关注能力的提高和思维的发展,因此第1轮复习通常按章节逐一过关.而第2轮复习的主要任务是聚焦核心考点,总结解题方略,发展思维水平,提高数学能力.因此,从知识、方法和能力的角度,精选几个聚焦核心内容的专题进行复习,一定是有效的.

专题选题原则:专题复习主要讲解具有一定代表性的历年高考试题以及具有一定综合性的高考模拟试题或其他典型习题,所选问题应突出本专题的重点知识、重要技能、重要思想、典型方法、常用策略,既要注意选择一些章内知识的综合问题,更要注意选择那些在知识网络交会点处设计的、注重发展思维、考查能力的试题或习题.

专题复习策略:重在解题思路的分析、知识要点的梳理、规范解法的展示、解题方略的总结、学科思想的提炼等.

可以选择如下10个专题.

1) 选择题、填空题的解法.

在所规划的课时内,尽可能做到主要知识全覆盖,量多面广,小题综合化.要选择那些小巧灵活、解法多样的问题,着重体现选择、填空题的各种不同解法,如直接求解法、特值分析法、数形结合法、等价转化法、变量替换法、巧用定义法、直觉判断法、合理估值法、无限逼近法等.通过选择题和填空题的求解,进一步夯实双基,同时培养学生思维的灵活性和敏捷性.

2) 数学思想方法的应用.

数学思想是数学知识的精髓,是架设在知识和能力之间的一座桥梁.第2轮复习中,必须选择相关的问题,通过对蕴含在问题本身中的数学思想的挖掘和提炼,实现对问题的解决.从历年的高考试题看,数学思想在各种题型中都有所考查,因此,本专题中选择题、填空题、解答题3种题型都应有所选择,所选题目应蕴含7种数学思想.通过这些问题的求解,一方面应体现数学思想在解题中的价值,另一方面应提高学生利用数学思想求解问题的意识.

3) 三角函数与平面向量.

三角函数是历年高考必考的重要内容之一,这类问题有时还和平面向量结合考查.第2轮复习既要重视单一的三角问题,也要适当关注三角函数与平面向量的综合问题.本专题所选题目应侧重于考查三角函数的化简和求值、三角函数的图象和性质、三角变换公式、正余弦定理等核心内容,还应适当选择1或2个三角函数与平面向量的综合问题.

4) 数列与函数、不等式.

数列是高等数学和初等数学的一个重要衔接点,历来是数学高考的重点之一.本专题所选的题目应侧重于考查数列的通项与前n项和的关系、2类数列的通项与前n项和、数列运算的6大技能、函数的单调性与平均值不等式等核心知识,既要突出数列章内知识的综合,又要突出数列与函数、不等式的综合.

(1) 求数列{an}的通项公式;

(2) 记数列{1/an}的前n项和Tn,求使|Tn-1|<1/1000成立的n的最小值.

归纳与小结此题是数列与函数、不等式的简单综合,既考查了数列通项与前n项和的关系、等比数列的判定以及前n项和公式,又考查了指数函数的有关性质以及不等关系的处理方法.事实上,n≥10的获得,依赖于指数函数y=2x的单调性,而不等式“29<512<1 000<1 024=210”的构造,体现了不等关系的放缩技能.

5) 概率统计与计数原理.

概率与统计是近年来应用问题考查的主要内容,对此,第2轮复习必须十分重视.本专题所选题目应侧重于考查抽样方法,用样本估计总体(频率分布直方图、折线图、茎叶图、平均数、中位数、众数、方差和标准差);古典概型和几何概型; 4类事件的概率(等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、对立事件的概率、相互独立事件同时发生的概率),理科还应关注条件概率,重视n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率及二项分布、离散型随机变量的分布列、期望值与方差.复习中要重视图表问题的精选与读图、识图的方法指导.

(1) 完成频率分布表.

(2) 作出频率分布直方图.

(3) 根据国家标准，污染指数在0～50时，空气质量为优;在51～100时，为良；在101～150时，为轻微污染；在151～200时，为轻度污染.

请你依据所给数据和上述标准,对该市的空气质量给出一个简短评价.

归纳与小结本题涉及了频数、频率、频率分布表及频率分布直方图的意义和制作方法,涉及了对空气质量问题的评价.这类问题,大多是给出频率分布表和频率分布直方图,然后要求根据图表回答相应的问题.而此题给出的只是30个统计数据和国家关于空气质量的标准,要求自己制作频率分布表和频率分布直方图,再根据统计结果,结合国家空气质量标准进行数据分析,最后对该市空气质量给出简短评价,既展现了加工数据的具体过程,考查了数据处理能力,又着重考查了运用统计知识解决简单实际问题的能力,具有较强的应用价值.

6) 导数与函数、方程和不等式.

导数是历年高考的重点,通常与函数、不等式、方程综合考查.正因为试题是众多知识的交会,因而往往是高考的把关试题之一,难度较大.这类试题的求解,对于推理论证能力和运算求解能力都具有较高的要求.因此,作为着重提高学生能力的第2轮复习,理应把导数与函数、方程和不等式作为重点专题强化落实.本专题应侧重选择考查导数及其几何意义、导数公式以及求导法则(复合函数的求导法则)、导数与函数的单调性、导数与函数的极值和最值、导数与不等式的证明、导数与函数的零点等问题,进行求解训练.

(1) 讨论f(x)的导函数f′(x)的零点的个数;

(2) 证明:当a>0时f(x)≥2a+aln(2/a).

归纳与小结此题是导数与函数、方程和不等式等众多知识的交会,考查了指数函数、对数函数的导数公式、多项式函数的求导法则以及复合函数的求导法则,考查了利用导数判断函数的零点、利用导数判断函数的单调性、利用导数证明不等式的方法.此题第(1)问原则上应借助于函数零点的存在定理,然而,由于当a>0时,使得f′(x)<0成立的具体的某个x值不易求出,因此,这里采用无限逼近的办法,即有限与无限的思想,较好地解决了问题,值得关注.第(2)问本质上是不等式恒成立问题,这类问题,通常转化为函数单调性的判断与最值问题的求解.

此题综合性较强,具有一定难度.第2轮复习中选择这样的导数问题,对于培养学生的推理论证能力和运算求解能力,都能起到重要的作用.

(未完待续)

(作者单位：北京陈经纶中学)