导数解题中思维障碍的突破



导数解题中思维障碍的突破

◇江苏万军

数学问题的解决经常伴随着困难、挫折和失败．有些学生在思维受阻时冥思苦想,不肯放弃原有思路,最终一无所获.虽然问题是固定的,但我们的思维是不断变化的,因此在遇到此类变化时,要能够冷静地观察、善于寻找特定条件的微妙变化,迅速转换思维角度,往往可使问题不攻自破．本文以导数问题为例,就解题中的思维障碍突破策略,举例分析．

(1) 若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为ax-y=0,求x0的值.

(2) 当x>0时,求证:f(x)>x.

(3) 问集合{x∈R|f(x)-bx=0}(b∈R且为常数)的元素有多少个?

1弄清曲线“在某点”与“过某点”的切线本质

2打破常规定式,你作差来我作商

第(2)问属于较常规的不等式证明问题,通常的解法是移项合并,构造新函数,将问题转化为求新函数的最值问题．

重新审视条件,当x>0时,求证:f(x)>x,这实际是一个比较大小问题,常用的策略是移项作差与0比较,但如果两边均为正数,除了作差以外,还可以作商与1比较．

x在(0,+∞)上变化时,g′(x),g(x)的变化情况如下表.

x(0,2)2(2,+∞)g'(x)-0+g(x)↘e2/4↗

3把握前后关联,已证结论也是条件

第(3)问求集合{x∈R|f(x)-bx=0}(b∈R且为常数)的元素个数问题,即为方程f(x)-bx=0的根的个数问题,若没有第(2)问的处理过程,此问仍然会直接对F(x)=f(x)-bx进行求导、求单调区间,从而陷入解题的误区．

当b≤0时,集合{x∈R|f(x)-bx=0}的元素个数为0;当0e2/4时,集合{x∈R|f(x)-bx=0}的元素个数为3.

导数在高考中的考查通常起到把关或压轴的作用,备考中要重点把握相关的题型,灵活应用相关的解题方法．

(作者单位：江苏省扬州市邗江区瓜洲中学)