高中数学常见错误分析及解决策略——以指、对数函数为例

2016-04-25

高中数学教与学 2016年6期

高中数学常见错误分析及解决策略
——以指、对数函数为例

陈姗姗

(广东省中山市第二中学，528429)

很多学生常在数学考试之后“懊恼不已”,因为很多本应该会做的题目却没有拿到一定的分数,尽管学生一直想避免这种情况,但现实中,多数学生还是很难做到,因为一些常见的错误总是错了一次又一次．所以说,要想真正学好数学并不是件容易的事,这不仅需要教师的努力,同时学生也应该清楚地认识到自己在高中数学的学习过程中所碰到的常见错误,并及时找到避免错误的办法．本文就高中数学学习过程中所碰到的常见错误及其解决策略进行初步探讨．

一、知识性错误

高中数学知识点多,难度大,很多学生吃不透,对所学知识一知半解,模棱两可,多个知识之间混淆,或者根据已有的经验,发生错误的迁移,因此容易犯一些知识性的错误．下面分析常见的三种知识性错误．

1.概念理解不清

正确理解概念是学好数学的基础．一些学生数学之所以差,概念不清往往是最直接的原因,特别是中等偏下的学生,他们的理解能力和领悟能力稍差,对所学概念经常模棱两可,一知半解,更有甚者干脆靠死记硬背,而不去真正透彻理解,只是机械的、零碎的认识．这样久而久之,从而严重影响了对概念基础知识和基本技能的掌握和运用．

我们知道,对数概念特别抽象,学生很难接受,困难不在于计算,而是在于理解．其实对数问题就是已知底数和幂的值,求指数的过程．只要学生能够掌握对数与指数间的转化关系(当a>0,a≠1时,ax=N⟺x=logaN)所有对数的运算问题都可以迎刃而解．在这个转化式中,学生有两个常见出错点:一是a>0,a≠1;二是真数N>0．人教版必修1是这样规定正分数指数幂的意义:amn=nam(a>0,m,n∈N*,且n>1),也就是说分数指数幂都可以写成根式的形式,那么首先就应该考虑到根式要有意义才行,比如(-2)〖SX(〗34〖SX)〗=〖KF(S〗4(-2)3〖KF)〗是没有意义的．因为真数N是ax的值,所以必须为正数,部分学生没有理解指数、对数之间的转化关系,所以总是出错,如解不等式log〖SX(〗12〖SX)〗x>2,很多学生的答案都是x<〖SX(〗14〖SX)〗,而漏掉x>0．

每一个概念的产生都有丰富的知识背景,舍弃这些背景,对概念直接死记硬背,数学知识点零碎、复杂，概念严谨，对逻辑能力、空间思维能力、动手解题能力要求较高．这就要求每一位学生不但要知其然,而且更要知其所以然．

2.公式、法则、定理混淆

在新课标环境下,运算能力仍然是高考着重考察的能力之一．虽然高考“多考一点想,少考一点算”,但并不意味着“想”比“算”更重要．每年高考结束以后,学生耿耿于怀的经常是算错了或是运算繁琐而算不下去了．而计算上出现问题,我们不能把原因总是归结为不够细心．据笔者观察,非常重要的一个原因就是许多高中生只是注重思维训练,而忽视运算的基本功,特别是他们以为熟知的初中数学运算性质．

有理数指数幂的运算性质:对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质:

(1)aras=ar+s(a>0,r,s∈Q)

(2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q)

(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q)

这三个运算性质看似简单,因为和初中学习的整数指数幂的运算性质几乎雷同,所以学生在做题时习惯性按照以前的做法做下去,比如:

[(-2)2]〖SX(〗32〖SX)〗=(-2)2×〖SX(〗32〖SX)〗=(-2)3=-8.

这样做显然是错误的,忽视了有理数指数幂的运算性质中关键的一点“a>0”.对此，老师在讲解时应反复强调并分析原因．正确的解法是:[(-2)2]〖SX(〗32〖SX)〗=4〖SX(〗32〖SX)〗=22×〖SX(〗32〖SX)〗=23=8.造成这种错误的根本原因就是没有理解分数指数幂与整数指数幂的区别.教师授课时应该加以重视,通过举一反三和正反例子来说明二者的异同点,并指出常见的错误类型与学生一起分析．

然而,在学习了三个对数的运算性质之后,学生就更加混淆不清了．有关对数的三个基本运算性质:如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:

(1)loga(M·N)=logaM+logaN;

(2)loga〖SX(〗MN〖SX)〗=logaM-logaN

(3)logaMn=nlogaM(n∈R)

对于初学者来说,掌握并理解这三个性质并不容易,因此各种错误也是层出不穷:如:下列等式成立的是()

(A)log2(3÷5)=log23-log25

(B)log2(-10)2=2log(-10)

(C)log2(3+5)=log23·log25

(D)log2(-5)3=-log253

类似于选项C的这种错误是非常常见的．学生没有完全掌握对数的运算性质,从而与指数的运算性质混淆一起．再看下面几个有关指数的运算:

(1)2n+1-2n=2n

(2)〖SX(〗12n〖SX)〗-〖SX(〗12n+1〖SX)〗=〖SX(〗12n+1〖SX)〗

(3)2n·2n+1=22n+1

(4)〖SX(〗22n+12n〖SX)〗=2n+1,

由于笔者任教的学生数学基础一般,所以这种看似简单的计算,出错率却很高,(1)、(2)其实就是合并同类项,(3)、(4)才是用指数的运算公式“同底数幂相乘,底数不变指数相加;同底数幂相除,底数不变指数相减”．学生在做题时经常把对数的运算法则和指数的运算法则混淆,作为教师我们要示范举例说明,再让学生举例说明,给学生足够的时间去发现错误、纠正错误,从而使学生形成正确的认知．

3.图象画法不准确

高中数学强调“数形结合”的解题思想,很多问题的解决如果能借助于图象,往往能起到事半功倍的效果.正确理解并合理应用函数图象,在很大程度上能够帮助我们巩固、消化所学的理论知识．借助于图象,能够使我们所研究的问题简单化、直观化、清晰化．因此,每位高中生都应该掌握识图、作图、用图的本领．有了图象就可以将某些枯燥、抽象的理论知识具体化、形象化．所以同学们一定要熟知我们所学习过的每一个函数的图象,只有这样才能做到融会贯通,举一反三．

转移支付制度的设计是央地财政关系的重要组成部分，是赋予地方政府相应“财权”后如果其仍然收支失衡的一个重要补充。目前大的改革方向是增加一般性转移支付的比重，降低专项转移支付的比重。原因显然是由于专项转移支付制度的“一事一议”、“易上难下”等容易产生许多问题。但从目前来看，转移支付制度的关键在于如何明晰一般性转移支付与专项转移支付的界限，更好地发挥两种转移支付制度各自的优点，更好地完善制度框架设计，不能简单地提高或降低某项转移支付的比重。

例如，k为何值时,方程|3x-1|=k无解?有一解?两解?

这是一道常见的数形结合的题目,把方程的根转化为两个函数的交点,即函数y=|3x-1|与y=k的交点问题,通过画图(如图1),观察图象,易知:k<0时无解;k=0或k≥1时一解;0

然而部分学生在作图时却忽略了渐近线,作出如图2的图象，得出这样的答案:k<0时无解;k=0时一解;k>0时两解．错误的原因就在于没有掌握指数函数的图象是无限接近x轴,即x轴是指数函数图象的渐近线这一知识点所造成的．

二、计算错误

计算在数学学习中非常重要,提高计算能力是学好数学的重要一环．不少学生在考试成绩出来时总是遗憾的说:“这题我会做的,但是算错了数”,或者常常听到不少老师埋怨:“学生的计算能力太差了,连这么简单的运算都过不了关,甚至数学基础好的学生运算结果也常出差错．”就算是简单的计算错误代价也是很大的,动不动就扣5分以上,如果出现几处这样的错误,那么对学生情绪影响更大.笔者分析简单的计算错误无非就是以下5种:

(1)跳步产生错误．很多学生在考试过程中贪快,抢时间,在进行一些简单的计算时,觉得没有问题,直接跳步计算,在这个过程中往往会出错．

(3)口算导致错误．这个是学生最容易犯的错误,比如:90°-15°=85°;17×5=65．

(4)抄写错误．由于粗心或者心理压力过大,学生在解题过程中往往出现上下步数值不匹配的现象,把上一步的2抄成3,正负号抄错,漏抄等等,或在草稿纸上已经将最后答案计算出来了,结果往答题纸上抄写的时候,出现了错误．

计算错误是“会而不对”中最常见的现象,很多学生因为这样的情况直接影响高考走向．数学离不开计算,提高计算能力是学好数学的第一步,能避免的错误尽量避免,不要眼高手低,要脚踏实地．

三、教材理解不透彻

新课标对反函数的学习要求是:知道指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数(a>0,a≠1)．对反函数的处理,只要求以具体函数为例进行解释和直观理解.例如,可通过比较同底的指数函数和对数函数,说明指数函数y=ax和对数函数y=logax互为反函数(a>0,a≠1)．不要求一般地讨论形式化的反函数定义,也不要求求已知函数的反函数．但是在学生平时的学习和考试中包括各省市的模拟题频频出现关于反函数的题目．

例如，函数y=〖JB((〗〖SX(〗12〖SX)〗〖JB))〗x的反函数的图象大致是()