三角形垂顶径定理的发现与证明

丁位卿

《中学数学杂志》（初中）2015年第12期刊登了黄兆麟老师的“一个与垂心有关的三角形面积公式”一文（文[1]），巧妙利用三角形垂顶距与其外接圆半径，给出了锐角三角形的一个漂亮的面积公式.阅后深受启发，笔者另觅新径，深入研究，发现和证明了如下的三角形垂顶径定理（查阅了大量的文献资料，没有此种论述）.

为方便读者对比阅读，仍沿用文[1]的字母.

三角形垂顶径定理如图1或2，设△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，三条高线分别为AE、BF、CG，又R、H分别为外接圆半径及垂心，三个垂顶距HA=u，HB=v，HC=w，则R是一元三次方程4x3-（u2+v2+w2）x±uvw=0的一个正实数根（对钝角和锐角三角形ABC，uvw前分别取正负号，直角三角形正负均可）.

证明

如图1或2，连接BO交外接圆O于M，再连

接AM和MC，则有MA⊥AB，MC⊥BC，又因CH⊥AB，AH⊥BC（垂心性质），所以AM∥HC，AH∥MC，所以四边形AMCH为平行四边形，故有MC=AH=u，AM=HC=w.又在Rt△ABM和Rt△BMC中，

AB=BM2-AM2，BC=BM2-MC2即c=4R2-w2，a=4R2-u2，同理可证AC=b=4R2-v2.在圆内接四边形ABCM中，由托勒密定理得，

AM·BC+MC·AB=BM·AC，即w4R2-u2

+u4R2-w2=2R4R2-v2，移项得w4R2-u2=2R4R2-v2-u4R2-w2

化简整理得，

R2[4R2-（u2+v2+w2）]2=（uvw）2. ①

以下分三种情况：

（1）如图1，对于锐角三角形ABC及其外接圆O，在Rt△BHE中，∠BEH=90°，∠BHE为锐角，故其补角∠AHB必为钝角，所以cos∠AHB<0，又在△AHB中，由余弦定理得，c2-u2-v2=-2uvcos∠AHB>0，又c2=4R2-w2，故4R2-（u2+v2+w2）>0，此时，由①得R[4R2-（u2+v2+w2）]=uvw，于是4R3-（u2+v2+w2）R-uvw=0. ②

（2）同理，如图2，对于钝角三角形ABC及其外接圆O，在Rt△BHE中，∠BHE为锐角，故cos∠BHA>0，在△AHB中，仿上由余弦定理得，4R2-（u2+v2+w2）=-2uvcos∠BHA<0.

故由①得R[4R2-（u2+v2+w2）]=-uvw，

于是4R3-（u2+v2+w2）R+uvw=0.③

（3）如图3，对于直角△ABC，其直角顶点B与其垂心H重合.

所以HA=u，HB=v=0，HC=w，斜边AC=2R.

将它们代入②或③，②、③均成立，（注意到勾股定理u2+w2=AC2=4R2）

综合②、③得，4R3-（u2+v2+w2）R±uvw=0（△ABC为钝角和锐角三角形时，uvw前分别取正负号），直角三角形正负均可）.

垂顶径定理获证.由于定理涉及的三次方程求解较为复杂，留给读者解决，若求出此根，将重新改写文[1]的三角形面积公式.

参考文献

[1]黄兆麟.一个与垂心有关的三角形面积公式[J].中学数学杂志，2015（12）：60