对“角的平分线”教学的思考

摘要在“沪皖同课异构”教学展示中，笔者通过梳理线段垂直平分线研究的“基本套路”，类比线段垂直平分线进行“角的平分线”教学，得到与会老师的共鸣.本文拟对本节课探究过程中的部分片断进行回放，给出设计解读并呈现教学过程中对相关问题的思考.

关键词同课异构；线段垂直平分线；角的平分线

2015年12月29日，“沪皖同课异构”教学展示在蚌埠新城实验学校举行，笔者有幸代表蚌埠市与来自上海的孙静贤老师一起共同为全市老师展示了沪科版数学八年级上册《154角的平分线》第1课时的教学，笔者通过梳理线段垂直平分线研究的“基本套路”，类比线段垂直平分线进行角的平分线教学，得到了与会老师的共鸣.本文拟对本节课探究过程中的部分片断进行回放，并给出解读与思考，与同行研讨.

1片段回放

片断1：情境创设

师：对于线段的垂直平分线，我们是通过怎样的顺序来研究的？

学生回答后，师生共同梳理线段垂直平分线研究的“基本套路”：

线段的轴对称性→线段垂直平分线的作法→猜测线段垂直平分线性质→

验证命题，形成定理→写出定理的逆命题→验证命题形成逆定理.

师：角作为轴对称图形可否采用与线段相同的“套路”来研究呢？如：

角的轴对称性→角的平分线作法→？

生众：应该能！

片断2：探究角的平分线作法

师：下面我们就根据这个“套路”来研究角的平分线作法.我们知道线段垂直平分线有哪几种画法？

生1：折纸法、过中点画垂线、尺规作图法三种.

师：类比线段垂直平分线，大家觉得作角的平分线可以有哪些方法？

生2：可以采用折纸法，如利用老师给我们的这个表示角的纸片，对折后就可以得到角的平分线，同学们也可以象我这样折叠，试试看.

生3：可以采用七年级学过的利用量角器，通过测量计算后画出角的平分线.

生4：我觉得也可以利用尺规作图，但具体怎么做，我还没有想好.

师：前两位同学说的方法可以分别叫折纸法、度量法，下面我们就来重点研究一下角平分线的尺规作图法.

师：如图1，这个仪器叫简易平分角的仪器，其中OE=OF，PE=PF.工人师傅常用这个仪器来画角的平分线，如图2，将O点放在角的顶点处，OE和OF沿角的两边放下，过OP画一条射线OC，OC即为∠AOB的平分线.（老师通过PPT动画演示作角的平分线过程）图1图2

师：同学们请思考：为什么这样作出的射线OC即为∠AOB的平分线？

生5：根据仪器特征，可证△EOP≌△FOP（SSS），利用全等三角形对应角相等，即可得OC平分∠AOB.

师：完全正确，既然这样操作得到的射线就是角的平分线，你能否通过这个仪器的启示得到利用“尺规”作角的平分线方法呢？请同学们试试看.

（学生尝试解决，老师巡视，对部分有困难的学生进行指导，部分学生完成后，一位同学上黑板作角的平分线并讲述作图过程，老师对不规范的几何语言进行纠正）

师：请同学们课下思考这样两个问题：（1）观察角平分线尺规作图的过程，它与前面学习的线段垂直平分线的尺规作图本质上是否有相通之处呢？（2）若∠AOB是个平角，角的平分线与角的两边有什么位置关系？它是否为我们作一条直线的垂线提供了某些思路呢？

片断3：探究角的平分线性质

师：观察线段垂直平分线研究的“套路”，下面我们该研究……？

生众：猜测角的平分线性质.

师：如图3，请把对折后的纸片（使角的两边重合在一起）继续折一次，折出一个直角三角形（使第一次的折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕.第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何关系，它们的长度有何关系？

生6：第二次折叠形成的两条折痕与角的两边垂直，且它们的长度相等.

师：线段PD、PE表示……？

生6：点P到OA、OB两边的距离.

师：此时的点P毕竟还是一个特定的位置，射线OC上的任意一点是否到角的两边距离都相等呢？下面老师给大家演示一下.

师：（用几何画板演示，当点P在角的平分线上移动时，PD与PE的长度始终相等）通过刚才的演示，你可以得出怎样的猜想？

生7：角平分线上的点到角的两边距离相等.

师：这毕竟是一个猜想，若要说明它是一个真命题，还须进行严格的推理证明，请同学们想一想，对一个文字性命题按怎样的“套路”来证明它是真命题.

生8：首先分析命题的条件与结论，画出图形，标出字母，接着结合图形写出已知、求证，然后分析证明思路，找出证明方法，最后写出证明过程.

师：请同学们按照这样的步骤，自主完成该命题的证明过程.

（学生完成后，老师利用投影展示部分同学的证明过程，并对部分不规范的书写进行纠正）

师：我们知道对于一个定理，需要从文字语言、图形语言、符号语言三位一体去理解，对角平分线的性质定理，如何用符号语言去描述呢？

生9：如图4，因为OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，所以PD=PE.图4

师：对，在使用这一定理时，一定要注意三个前提条件，并明确是哪两条线段相等，下面我们来看这样一个问题.

辨一辨：如图5，在△ABC中，DC⊥BC于点C；DE⊥AB于点E，BD平分∠CDE，下列推理过程是否正确？图5

因为BD平分∠CDE，DC⊥BC，DE⊥AB（已知），

所以CD=DE（角平分线上的点到角两边的距离相等）.

片断4：小结阶段

师：同学们，我们这节课是通过怎样的方式进行学习的？

生10：我们是通过类比线段垂直平分线来进行本节课教学的？

师：具体说一说是如何类比的？

生10：我们是根据线段垂直平分线研究的“套路”来进行角的平分线学习，根据角的轴对称，引出角的平分线，进而作角的平分线，再通过操作猜测角的平分线性质，验证命题形成角的平分线定理.

师：如果本节课继续研究下去，你觉得下节课我们将研究……

生10：写出性质定理的逆命题，验证命题，形成角平分线的判定定理.

师：类比线段的垂直平分线，同学们觉得下节课我们还需研究哪些内容？

生11：三角形的三条角平线是否交于一点，若交于一点，这一点是否也如三角形三边垂直平分线的交点一样，也具有某些性质.

生12：角的平分线判定是否也需要先确定两个点在角的平分线上.

生13：到角两边距离相等的点是否都在角的平分线上.

……

师：像今天这样，通过“基本套路”进行几何图形的相关研究，将是后面我们学习几何图形的常规方法，希望同学们认真体会.2设计解读

本节课是在七年级学习了角平分线的概念和前一章三角形全等的基础上进行教学的，内容包括角平分线的作法、角平分线的性质及初步应用.学生在这节内容之前已通过全等三角形的相关内容的学习，熟练掌握用三角形全等证明线段或角相等的方法，同时在前两节已学过了基本的轴对称图形——线段、等腰三角形，已初步体会到了几何图形研究的“基本套路”，但大部分学生还不能通过类比的方法，利用“基本套路”进行相关研究，为此在本节课的设计上从以下两个方面做了有益尝试.

（1）通过梳理研究线段垂直平分线的“基本套路”，启发学生类比线段垂直平分线探究思路研究角的平分线.本节课是角的平分线第一课时，没有教学角的平分线判定，但为了更好地让学生体会几何图形研究的“基本套路”，便在小结环节通过问题：本节课是通过怎样的方式进行学习的？下节课我们将如何研究？还需研究哪些问题等，使学生一方面感受到完整的探究“套路”，另一方面让学生根据线段垂直平分线的研究问题，猜想角的平分线研究的相关问题，使学生更好的体会“类比”的数学思想.

（2）注意“收”与“放”度的把握.学生对验证一个文字命题是否为真命题的“套路”已相当熟悉，所以对于角平分线性质的猜想便大胆放手让学生自主完成验证，当学生明确简易平分角的仪器作角的平分线的原理后，便由学生自主探究角平分线的尺规作法等，这些“放”的手段给了学生充分的“自由”，发挥了学生的主观能动性.由于大部分学生对于定理的符号语言还不是很熟悉，书写时还可能出现这样或那样的问题，笔者便根据定理的条件与结论，结合图形引导学生得出，并通过辨一辨的形式，加深学生对于定理的理解，这些“收”的环节又使“放”处在一定的可控范围，体现了教师的主导作用.3对“角的平分线”教学相关问题的思考

3.1对研究问题“基本套路”的思考

作为一线老师经常面对这样一种现象：当学生独立面对一个新的研究对象时，就感到无从下手，平时讲过的练过的试题，考试时学生也很容易出错.这种现象的产生其实反映了学生不会思考，没有掌握研究问题的“基本套路”.人教社资深编审章建跃博士曾指出：注重“基本套路”才是好数学教学[1].在初中数学中，“基本套路”的教学载体比比皆是，如三角形性质的研究套路以三角形的要素（三条边、三个内角）、相关要素（高、中线、角平分线、外角等）以及几何量（边长、角度、面积等）之间的相互关系为基本问题，从“形状、大小和位置关系”等角度展开研究；再比如四边形的研究套路是：四边形的概念，基于边、角、对角线、对称性的角度研究性质、判定及应用等.若教师以此为基本依据设计教学，并让学生反复经历这个逻辑过程，是学生学会思考的关键之一.好比一棵参天大树，若把研究问题的“基本套路”看成根和主干，千变万化的具体方法则是其枝和叶.当前课堂教学中的普遍问题是，把注意力集中到了“枝繁叶茂”的追求上，而忘却了“根和主干”的重要性.如果在教学中一有机会就引导学生按照“基本套路”展开思维活动，那么经过长期熏陶，就能使学生在潜移默化中形成思考的习惯.

3.2对“角的平分线尺规作图”的思考

在本次“沪皖同课异构”展示课的点评环节，有部分老师认为在角的平分线尺规作图中（如图6），点P这个点的选择可以通过作线段DE的垂直平分线确定，进而可以推广到过一点作已知直线的垂线（如图7），第一步在直线上作线段DE，第二步作线段DE的垂直平分线，这样就把线段垂直平分线、角的平分线、过一点作已知直线的垂线统一了起来，易于学生掌握.这三种尺规作图确有相通之处，如此统一是否合理呢？《数学课程标准》（2011版）明确指出初中阶段须掌握五种基本尺规作图，其中就包含以上三种，为什么《数学课程标准》（2011版）没有把这三种尺规作图统一起来呢？细细体会不难发现对于角的平分线，若是作线段DE的垂直平分线，便会出现一个问题：垂直平分线是否经过角的顶点，即要证明O点在线段DE的垂直平分线上，过一点作已知直线的垂线亦是如此.我们知道在初中阶段，三点共线的证明对于学生来说，难度较大，且《数学课程标准》（2011版）也没有相关要求.因此，在教学时不建议把这三种尺规作图统一起来，以免使学生知其然而不知其所以然，不过作为老师，一定要了解这三种尺规作图的相通之处.图6图7

3.3对是否可用“轴对称图形性质”进行证明的思考

对于角平分线性质定理的证明，有老师认为在本节课教学之前，学生已明确知道角是轴对轴图形，且角平分线所在的直线是角的对称轴，可以不借助全等证明，直接使用轴对称的性质证明即可.

如图4，因为∠AOB是轴对称图形，OC所在的直线是其对称轴，所以PD=PE.

这种证法是否可行，确实不好给出准确的答案.不过我们可以先看这样一道问题的解答，或许可以得出启示：

例：已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N.

（1）当∠MAN绕点A旋转到如图8的位置时，求证：BM+DN=MN；

（2）当∠MAN绕点A旋转到如图9的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想.

这道题基本的解题思路为：把△ABM绕点A逆时针旋转90°，使△ABM与△ADN构造的△ANM′全等于△ANM.可是在具体的解题过程中，把△ABM绕点A逆时针旋转90°往往是通过延长ND至点M′（或在线段DN上取一点M′），使DM′=BM，连接AM′来实现的.为什么会出现这样的情况，笔者认为若通过旋转来处理，就会出现为什么旋转后点M会在直线CD上的问题，即要说明点C、D、M三点共线.回到角平分线性质的证明上，若利用轴对称性证明就要涉及到点D、E为什么是对应点（或图形沿角平分线折叠后点D、E为什么一定重合），这些问题对于八年级的学生来说具有一定的困难，所以在这个阶段教学时要尽量回避.笔者个人认为对称、旋转、平移变换等可以为我们解决问题提供一个方向，一个思路，一个策略，对于初中阶段的学生，在具体的推理过程中，不建议使用，当学生进入高中阶段后，熟悉了三点共线，真正搞懂了其中的“门道”，对称、旋转、平移变换不失为解决问题的一种好方法.

参考方献

[1]章建跃.注重“基本套路”才是好数学教学[J].中小学数学（高中版），2012（3）：封底

[2]高厚良.对探索“多边形内角和公式”的思考[J].中学数学（下），2016（1）：23-25