利用图形计算器培养数学思维品质

摘要利用图形计算器的动态几何App，学生可以通过对平面几何图形的各种变换，进行多种尝试，通过学生自己动手操作，发现图形中的“规律”.本文以《中点四边形》这节课为例，通过对课堂教学环节如何依次展开，问题如何提出，学生如何进行实验演示，特别是如何提升到与推理论证水平的探讨等，来描述用HP Prime图形计算器在常态课教学中对学生数学思维品质的培养.

关键词图形计算器；数学思维品质；中点四边形；动态几何初中

《数学课程标准》的基本理念指出：注重提高学生的数学思维能力，是数学教育的基本目标之一.教师应该设计适当的学习活动，引导学生观察、操作、尝试、归纳、类比、猜想和证明，在这个过程中发展学生的数学思维能力.《课标》同时还指出，教师要为学生的活动提供足够的材料和思维空间，要鼓励与提倡学生解决问题策略的多样化，在“做”的过程和“思考”的过程中积累、丰富数学活动经验，提高数学思维水平.初中学生已具备一定的抽象逻辑思维能力，但是在数学的学习中具体形象的成分仍然起着很大的作用.在这个时期学生往往没有形成明确的抽象推理规则，而主要凭借于主体的经验进行数学思维活动.所以在对数学问题的观察、分析、猜想、尝试、推理、概括、判断、验证、探究等过程中，容易产生思维障碍，影响数学学习.

在这个信息化的时代，怎样才能促进学生从形象思维过渡到抽象思维？信息技术无疑在数学教学中起到了促进的作用.近些年，图形计算器逐渐在数学教学中得到应用，图形计算器不同于 PPT、Flash、几何画板、Excel等其它常用信息技术，后者主要局限在教师演示的层面，对于学生的主体性、创造性的发挥有一定局限.而图形计算器则是学生的“掌上实验室”[1].它作为一种现代手持技术，具有数据处理功能、函数功能、图形功能和编程功能等，可以快速计算，自动求解，直观地绘制各种图形，并进行动态演示、跟踪轨迹等.在教学中利用图形计算器可以将数与形、动与静有机地结合，并相互印证，通过形象思维促进抽象思维的发展，达到形象思维与抽象思维能力同步发展.将数学思维过程“可视化”，对培养学生数学思维的广阔性、深刻性、创造性和灵活性等优良品质起到重要作用.教师在新技术的指引下让学生亲自去“做”数学，显然有助于提高学生主体的参与程度[2].使用图形计算器对数学进行多元解释，学生可以依据自身的特点选择不同的角度分析和判断，并采用文本的、图形的、数据图表等不同的呈现方式进行表达[3]，帮助学生更好地学习数学.

传统数学知识体系十分科学严格，但是实践操作不够，图形计算器突破了传统的数理教学，拓展了学生学习的空间，为学生自主研究数学问题提供了先进的技术手段[4].下面，笔者以《中点四边形》这节课为例，简述如何利用HP Prime在常态课教学中培养学生的数学思维品质.1 利用图形计算器克服思维的狭隘性，培养思维的广阔性

数学思维的广阔性表现在能够多视角、多方面去思考问题，善于发现事物之间各个细微的联系，发现多途径解决问题的方法.多向、发散性思维，是思维广阔性的重要标志之一.这种思维要求随时摆脱思维定势的消极影响和封闭的思维框架的束缚，使思维的触角伸向研究对象的各个层面，形成一种视野更开阔的思维态势.图形计算器的强大功能，为学生提供了从数、形、动、静等多角度研究数学的广阔平台，探求不同的解决数学问题的途径和方法，使学生头脑中的“数学实验”变为现实，开阔学生的思路，起到发散思维的作用.图1

首先提出问题：

例1已知：图1，四边形ABCD中，G，H，I，J分别是AB，BC，CD，DA的中点，依次将G，H，I，J四点连接.

猜想四边形GHIJ是什么四边形？并借助HP Prime的几何学应用程序中的检验四边形

功能，验证你的猜想.

接下来，任意拖动四边形ABCD的一个顶点，

我们发现，当四边形ABCD的形状发生改变时，

中点四边形GHIJ的形状也随之变化，有时候中

点四边形是平行四边形，但是有时候中点四边形

会变成矩形，菱形，或者是正方形，那么当四边形ABCD具有什么特点时，它对应的中点四边形GHIJ会成为平行四边形以及特殊的平行四边形呢？

学生借助HP Prime的几何学应用程序，首先将问题中四边形ABCD特殊化为熟悉的平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形、筝形等等，进行实验探究，探究对应的中点四边形GHIJ的形状是否会成为特殊的平行四边形.学生们不断利用HP Prime尝试作图、讨论、交流，开拓了学生思维的广阔性.实验结果如下：

四边形ABCD是平行四边形四边形ABCD是梯形

四边形ABCD是矩形四边形ABCD是等腰梯形

四边形ABCD是菱形四边形ABCD是筝形

四边形ABCD是正方形说明

通过以上实验探究，学生可以总结：

四边形ABCD一般四边形平行四边形矩形等腰梯形菱形筝形正方形

中点四边形GHIJ平行四边形菱形矩形正方形

HP Prime可以展示学生的动态思维过程，学生在数与点，动与静的相互印证中，不仅开拓了思维的广阔性，还感受到数学规律的不变性，促使学生继续深入思考.2利用图形计算器克服思维的肤浅性，培养思维的深刻性

数学思维的深刻性是指思维活动的抽象和逻辑推理水平，表现为能深入钻研与思考数学问题，深刻理解概念，分析问题周密，善于从复杂问题中把握数学本质，能够有效分析问题的主要特征，正确认识与揭示知识之间的联系与转化规律.学生在数学学习过程中，思维常被问题的表象所困扰，抓不住本质，看不到内涵，思维游离于问题的表层.利用HP Prime的强大功能，可以从全方位揭示问题，进行多维表征，透过现象，使学生的思维深入到研究问题的内部，揭示问题实质，使思维由感性上升为理性，进而提高思维的深刻性.

继续思考下面的问题：

1. 除了以上讨论的特殊四边形，还有没有其他形状的四边形的中点四边形也是特殊的矩形？菱形？或正方形？四边形ABCD的什么元素决定和影响它对应的中点四边形GHIJ的形状？使它对应的中点四边形成为特殊的平行四边形呢？

2. 借助HP Prime的几何学应用程序和你探究的结论，请你设计一个非正方形的四边形ABCD，而它的中点四边形GHIJ是正方形.

学生们纷纷猜测是四边形ABCD的边、角或对角线决定和影响了中点四边形的形状，继续讨论后发现矩形和等腰梯形的共性是原四边形的对角线相等，菱形和筝形的共性是原四边形的对角线垂直，原四边形的对角线所具有的相同性质导致其中点四边形的形状没有发生改变.

对角线AC、BD不相等且不垂直相等垂直相等且垂直

四边形ABCD一般四边形平行四边形矩形等腰梯形菱形筝形正方形

中点四边形GHIJ平行四边形菱形矩形正方形

基于这一点认识，学生直接利用数学推理揭示出其中的数学本质.

证明：连接AC、BD，

因为G、H是AB、BC的中点，

所以GH∥AC，GH=12AC.

因为I、J是DC、AD的中点，

所以IJ∥AC，IJ=12AC，

所以GH∥IJ，GH=IJ=12AC.

同理：GJ∥HI，GJ=HI=12BD，

所以中点四边形GHIJ是平行四边形.

当四边形ABCD对角线AC=BD时，GH=HI=IJ=GJ，中点四边形GHIJ是菱形；

当四边形ABCD对角线AC⊥BD时，GH⊥HI，中点四边形GHIJ是矩形；

当四边形ABCD对角线AC=BD且AC⊥BD时，GH=HI=IJ=GJ且GH⊥HI，中点四边形GHIJ是正方形；

结论当四边形ABCD对角线既不相等也不互相垂直时，中点四边形是平行四边形.

当四边形ABCD对角线相等时，中点四边形是菱形；

当四边形ABCD对角线互相垂直时，中点四边形是矩形；

当四边形ABCD对角线相等且互相垂直时，中点四边形是正方形.

非正方形的四边形ABCD，它的中点四边形GHIJ是正方形的设计图如右图.

学生借助HP Prime的几何学应用程序，在实验探究的基础上，首先将原四边形形状特殊化，然后再一般化，学生的思维经历从一般到特殊，再从特殊回到一般的过程，同时运用分类讨论思想不断修正和完善猜想，并运用逻辑推理的方法揭示出其中的数学本质.利用HP Prime感性、直观的重新理解中点四边形的含义（中点四边形的形状由原四边形对角线的位置关系和数量关系决定），对学生克服思维的肤浅性，理解其中蕴含的数学本质，培养思维的深刻性大有益处.3 利用图形计算器克服思维的盲从性，培养思维的创造性

著名的荷兰数学家、数学教育家Freudenthal倡导的数学“再创造”的教学原理，认为数学更应该被看作为是活的、动态的、开放的、可能有错的活动，要求课程设计者和教师，不是将数学当作一个现成的体系来教，而是在教学中充分强调每个学生应尽可能有机会经历数学知识再创造的过程，让学生体会到数学学习活动不是接受、记忆、模仿和练习，而是自主探索、合作交流、动手操作、充满了创新思考的过程.Freudenthal教授曾经指出，这样做至少有以下三条教育学依据：首先，通过自身活动所得到的知识与能力比由旁人硬塞的理解得透彻，通常掌握的快，同时也善于应用，一般来说还可以保持比较长久的记忆.其次，发现是一种乐趣，或者说，是人的天性.通过再创造能够引起学生的学习兴趣，激发其学习动机.最后，通过再创造，可以帮助人们形成数学是一种人类活动的观念.此外，通过再创造能够培养学生的数学能力，并且通过再创造可以帮助学生正确认识数学体系的形成过程，体会公理系统、形式体系的必要性及作用.这些方面涉及学生数学学习的知识目标、过程目标和情感目标，涉及后人在前人的基础上地发展，都是非常重要的，因此学生需要经历“再创造”.

数学教育的一个目的应在于充分挖掘学生这些潜能，创设相应教学条件，使其得到有效的培养与充分的发挥[5].HP Prime就是给学生提供了一个独立自主、探究发现的平台，使学生通过自身的实践和体验，积极主动的思考，不再消极被动的盲从，这样创造性思维才会随之而生.

经历以上中点四边形本质内容的探究过程，给出下面例题.

例2已知：如图2，四边形ABCD中，M，K，L，J分别是AB、AC、CD、BD的中点，依次将M，K，L，J四点连接，四边形MKLJ是什么四边形？

1. 改变当四边形ABCD的形状，其相应的四边形MKLJ还会是一般平行四边形或特殊的平行四边形吗？

2. 你能设计出四边形ABCD，使四边形MKLJ是特殊的平行四边形吗？

请仿照例1的探究过程，对例2展开探究.

学生由于受固有思维的影响，多数会不假思索的认为，当改变当四边形ABCD的形状，四边形MKLJ也会是平行四边形或特殊的平行四边形，但是利用HP Prime的几何学应用程序，发现移动点D的位置，四边形MKLJ有不存在的情况（图3），这引起学生的思维冲突，激发了学生进一步研究问题的兴趣.学生发现在保证AD与BC不平行（即四边形MKLJ存在）的前提下，当满足AD=BC时，可以构造出菱形MKLJ（图4），若要构造出矩形MKLJ或正方形MKLJ时，需要创设AD⊥BC的条件，这时需要大胆构造符合条件的凹四边形ABCD（图5，图6）.

学生通过HP Prime，自主探索、动手实践，一方面帮助学生将头脑中的思维过程在图形计算器上得以显示和验证，即“思维可视化”，另一方面，学生通过HP Prime的操作，可以启发思维、促进思维、开拓思维，进而培养学生的创造性思维.4 利用图形计算器克服思维的呆板性，培养思维的灵活性

知识和经验常被人们按一定的、个人习惯的“现成途径”反复认识，这就容易产生先入之见，使思维倾向于某种具体的方式和方法，使人们在解决问题的过程中总是遵循已经知道的规则系统，这就是思维的呆板性.传统的教学和学习方法偏重模仿和被动的接受，这不利于思维灵活性的培养.利用HP Prime开展教学与学习，不仅可以使学生自主地获取知识，也可以有效地训练学生的思维品质，使学生在解决问题、克服困难的过程中灵活应对，进而培养学生思维的灵活性.

思维的灵活性表现为从一种解题途径转向另一种途径的灵巧性，也表现为从已知数学关系中看出新的数学关系，从隐蔽的形式中分清实质.利用HP Prime，可以帮助学生在数与形中灵活转换，是训练思维灵活性的有效途径之一.

例1和例2完成后，提出思考问题：例1和例2之间有什么联系？

从表面看例1和例2是彼此独立的两道题目，但是用HP Prime的几何学应用程序，改变点D的位置（图7和图8），会发现例1和例2实质是一道题，仅仅是点的位置发生改变，因此结论也具有相似性.

如果改变点D的位置，如图9和图10，就是学生非常熟悉的与三角形中位线有关的图形.

利用HP Prime，充分的让图形动起来，是研究图形，获得发现的一种重要方法，图形的运动不仅产生了学生熟悉的图形，还产生了许多新的图形，不仅让学生能直观的感受到图形之间的内在联系，还培养了学生思维的灵活性，促使学生不断产生新的思考.

整堂课，学生利用HP Prime的几何学应用程序，对中点四边形这一问题进行实验探究，把较为抽象的数学问题形象生动化，转化为学生看得见的动态图象，让学生通过观察演示、动手操作，在动态中认识数学对象的不变性，使学生亲历数学建构过程，积累学习的直接经验，逐步掌握间接知识，获得对抽象的数学概念、定理等的感性认识，进而通过加工、整理上升为理性认识，经历了数学知识的形成过程：观察、猜想，证明和应用.在这个过程中，学生不仅逐渐认识到数学的本质，获得了数学知识，同时数学思维能力和数学思维品质也得到提升.

科学合理地利用HP Prime，可以充分发挥信息技术的优势，为学生开拓观察、思考、归纳、猜想的空间，使学生有更多的时间和机会从事高水平数学思维、理解数学本质的活动，促进学生良好思维品质形成.当然在使用图形计算器的教学过程中，还要注意贯彻因材施教，重在实效的原则，使各类教育技术都能最充分地发挥各自的技术优势.注重从整体上优化教学过程，防止为了应用而应用的形式化倾向[6].

参考文献

[1]张楠.HP 图形计算器在高中数列教学中的应用示例[J].数学教育学报，2009，18（2）：63-65

[2]刘艳云.使用图形计算器开发初一学生创造潜能个案研究[J].数学教育学报，2001，10（2）：21-24

[3]康杰.图形计算器在中学数学探究性学习活动中的应用[J].数学教育学报，2002，11（2）：88-90

[4]胡晓丽.在高中数学教学中应用图形计算器的实践与探索[D].东北师范大学，20084

[5]王延文，王光明.初中数学教育培养解决实际问题能力与创造能力的实验研究[J].数学教育学报，1999，8（2）：72

[6]郭立昌.图形计算器与中学数学创新教育——几个值得思考的问题[J]. 数学教育学报，2001，10（4）：47-51作者简介 沈康，女，1975年12月生，中学一级教师，教育硕士，师从钱珮铃教授和曹一鸣教授，主要从事初中数学教育教学管理及数学课堂有效教学与图形计算器整合研究，有多篇文章及研究课在北京市获一等奖.