借力辩证破解“超验”

邢成云

摘要有些数学结论难以从可感的操作直接感知，需要靠一种超乎寻常的想象去实现认知，这种想象却往往是“超验”的.为了在教学实践中取得优质的教学效果，不妨摆开具体性操作，拿起辩证的武器去应对，从而实现从感性认识到理性认识的过渡，破解学生心中的纠结，本文拟通过三个案例借力辩证思维去尝试“超验”知识的获取.

关键词理性认识超验认识辩证思维

数学上很多结论的发现或发现后的既成事实，由于直观的错觉和经验的定势，往往一时难以认同，有时候纵然认同也可能是强权之下的接受，并不能让学生心悦诚服地真正接纳.而基于辩证思维，创设有效的数学情景，让学生在情景之下变被动接受为主动获取，在具体操作或思维操作下，实现从感性到理性的认知升华，学生的困顿纠结或许就在这当儿豁然洞开，进而实现超验的跨越.本文以三个案例为载体，充分利用有限无限、一般特殊等辩证思维做一阐释，请同行指正！1拉长过程，慢中求实——显化超验概念

直线是个不定义的概念，关于它的教学是个难点，因为这个不定义的概念是超验的，不好理解，需要增设认知环节把它做实，以加深其理性认识，把概念沉淀于心，否则，容易轻松滑过，学生大脑中难以留下它的数学印迹.

基于此，把对直线的教学过程拉长，在缓推慢进中濡染，在多维视角中丰实，设置如下教学环节：

案例1直线的教学[1].

环节1说印象——立足小学谈认识.

设计说明关注认知起点，学生对直线的认识早已有之，但程度不一，通过说，激活每个人的生长点，在大家交流中相互补益，彼此丰富对它的认识，突出其直、其线性、其两端延伸等特征.

环节2找实例——触摸生活寻踪影

设计说明通过搜寻生活中的实例，感知直线具象的存在，纵然不能完全取代，但总能感受到线性的直，如笔直铁轨的边缘等能较形象地展现出直线的模样，生活中类似的例子较多，有心处处可见它的影子.

环节3画模样——形象化作具象来

设计说明通过让学生过1个点画直线、2个点画直线等操作行为把直线的形象物化出来，让学生触摸直线的实体所在，同时为后续“两点确定一条直线”基本事实的出现做了铺垫，一箭双雕.

环节4说感悟——假以画图找感觉

设计说明在环节3的基础上，有了亲力亲为的直感，进一步体验直线的基本特征.

环节5说应用——反观生活用其益

设计说明学以致用，当学生认识到学到的知识有用时自然而然地提升了学习的兴趣，因此，在生活中帮助学生看到数学的价值，是一种无形的力量，能催动学生对所学的渴望.如栽树、拉线、排队等，都是线性之直的应用，引导学生挖掘出生活中的应用之例，将助力于学生对直线的学习.

环节6标直线——命名透出本质来

设计说明学习任何几何图形都要命名，以便交流，直线也不例外，常用的标示方式有二：一是用两个大写字母，其实是“两点确定一条直线”的阐释，二是用一个小写字母，两种方法并存不悖，各有利弊.在标示命名中揭示出直线的本质.

环节7形象化——超脱中感受其神

设计说明可用孙悟空上柱擎天下通四海的“金箍棒”形象一喻直线之直与其双向的无限延展；也可用陈子昂古韵“前不见古人，后不见来者，念天地之悠悠，独怆然而涕下”，从时间的无始无终来形象刻画直线的无限性，从而达到形神兼备的超验效果.

通过以上7个环节，形象与具象结合，感觉与表象兼容，物质与时空并存，画图操作与理性认识交融，生活与数学对接，把缥缈的直线沉静下来，在“轻歌曼舞”中把直线概念做实，在这些辩证关联中增进了对不定义直线概念的认识.2特殊一般，辩证关联——助推超验认识

当学生对两直线平行实现了超验的认知后，为两平行线之间（或之外）含拐点的问题打开了一扇窗，通过特殊位置获得的结论去推测一般状况可能的结论，在一般与特殊的辩证关系中去体会、去揣摩、去领悟.

我们知道，两条直线被第三条直线所截，截线发挥了贯通的作用，实现了数量与位置的切换，两条直线发生联系是通过截线沟通的.这是平行线一章的核心图形，也是基本图形，在学生心中应然扎下根来.可面对如下问题该如何是好？图1

案例2如图1，a∥b，M、N分别在a，b上，P为两平行线间一点，探索∠1，∠2，∠3之间的数量关系.

环节1（教师抛出问题，提供思考起点，搭建探研支架）：两条直线被第三条直线所截，截线发挥了贯通的作用，如图，如果两条平行线间截线没有贯通，出现了拐点，即P、M、N三点不共线，让我们探索∠1，∠2，∠3之间的关系，怎么办？

教学说明采用分组想法，集中交流的形式展开教学.

教学预设让学生小组内合作，各自画出题目中的图形，鼓励学生利用量角器，尝试用度量的方法获得可感的具体数据，为猜想提供素材；小组内成员每位同学画出的可能都不一样，但经过测量学生会诧异的发现，测量结果都接近或等于360°，由此可能引发学生的估测，猜得这三个角的和是360°.

环节2（教师抛出问题，引发学生思考，逼近问题本质）同学们画的图纵然相似，但拐点弯折的程度却不尽相同，那为什么测量的结果却接近或一样呢？

教学预设：学生在自己操作的基础上思考，通过以上事实性的测量作出的猜想结论可能与拐点在两平行线之间的弯折程度没有关系.

环节3（教师抛出问题，启迪学生理性论证）既然与点P的位置没有关系，说明我们的猜想是正确的，也就是说三个角的和是固定不变的360°，那么该如何证明这个结论呢？

教学预设引导学生研究360°

引导1：由于平行线被一直线所截，可以呈现180°的基本图（定位同旁内角），现在面对360°该如何处理？

引导2：拐点图没法把两条平行线的性质派上用场，面对如此境况，我们该如何思考下去？

通过两个引导，估计学生能发现：要建立起两条彼此“分离”的平行线的关系，需要在拐点处构建起新的平行线，通过平行线的传递性把三条线联通，360°（2个180°）摇身变成2组活生生的平行线下的同旁内角.至此问题获解.而后组织学生尝试证明发现的结论.

环节4（教师抛出问题，在一般与特殊的辩证关联中再度领悟）同学们大胆假设一下：如果我们将a、b这两条平行线间的拐点往里推，同学们先想象一下，在推的过程中能发现什么状态？这时原题目中的∠1，∠2，∠3发生了什么变化？

先行想象，若有阻力，可以通过几何画板具体演示，如图2，帮助学生发现一个特殊状态——点P落在线段MN上，进而发现∠1和∠3变成了同旁内角，而∠2（即∠MPN）变成了一个平角，此时∠1+∠2+∠3=360°的结论仍然成立.

设置此环节在于让学生从特殊图形与一般图形的辩证关系上提高认识，进而把平行线之间带有拐点的角的问题化归为可用平行线性质的基本图形问题，变“拐点”为“平直”，打通了两平行线之间的节点，生疏问题熟悉化，以巩固超经验的成果.

环节5若点P不在两平行线之间，∠1，∠2，∠3会有怎样的关系？

教学预设

引导学生讨论，不在两平行线之间需要分成两类：一是在其中一线上，二是在两线之外.若点P在a上，显然∠1成为平角，∠2与∠3构成a∥b下的同旁内角，即结论不变；若点P在其外呢？（迁移已经学过的方法构造平行线解决，结论发生了变化）.图3

环节6若两平行线之间有两个拐点呢？如图3，∠1，∠2，∠3，∠4之间的关系.

通过这一环节把通过拐点构造平行线的方法迁移过来，在问题的解决过程中加固认识.3从直到曲，无限逼近——渐溶超验阻隔

案例3滚圆问题的教学——从正多边形到圆.

同样大小两硬币，一枚固定，另一枚绕其滚动一周，滚动硬币自传了2圈，这一结论让大部分学生很难接受.纵然可通过动画形象演示让学生能直观的观察到，但也难以入心.笔者通过从直线型到曲线型的过渡帮助学生去认识，收到了良效.

教学设计

台阶一在一维直的线上动.

一枚硬币在线段AB上从点A向点B滚动，硬币滚动的路程=AB的长；

台阶二在二维封闭图形上动.

（1）在任意三角形边上滚动，转了3个拐角，故硬币滚动的路程是三角形的周长+3个拐角的长度和（恰为一枚硬币的周长）；

（2）在任意四边形边上滚动，转了4个拐角，故硬币滚动的路程是四边形的周长+4个拐角的长度和（恰为一枚硬币的周长）；

（3）在任意五边形边上滚动，转了5个拐角，故硬币滚动的路程是四边形的周长+5个拐角的长度和（恰为一枚硬币的周长）；

（4）在任意六边形边上滚动，转了6个拐角，故硬币滚动的路程是四边形的周长+6个拐角的长度和（恰为一枚硬币的周长）；

（历经四个图形，学生已有所悟，在二维封闭图形上动，打破了直线上滚动路程等于周长的先前认识，多出了一个硬币的周长.下面趁热打铁，进一步稳固学生的认识.）

台阶三

（1）若把前面的多边形统一改为正多边形，结论如何？

教学预设一致认为，结论不变；

（2）若正多边形边数在增加，比如变为正7边形了，结论如何？正八边形呢？以此类推，正n边形呢？

教学预设一致认为，结论仍不变；

（3）当n无限增大时，想象此时的正多边形会怎样？

教学预设如下：

生众：象个圆了.

师：是的，刘徽的割圆求周、祖冲之的圆周率的计算无不是用了这种思想，正多边形的边数一多，就给人一种圆的感觉，既然如此，一枚硬币绕一个和硬币同样半径的圆一周，硬币滚动的路程是多少？

生众：圆周长+硬币周长.

师：回到我们开始的问题，一枚硬币固定，另一硬币绕其一周滚动的路程为多少？

生众：哦，两圈.

教学说明

可见，从一维直线段到二维封闭图形，硬币运行路程是不同的，在线段上从一端滚动至另一端时正好等长线段，而绕二维封闭图形时是图形周长+硬币周长；当正n边形的n逐渐增大时，图形与圆无限逼近，“直”跃变为“曲”，纵然这种认识是超经验的，但学生已经有了直观的认可（边数多了就像个圆），所以能心悦诚服地接受.这种从极限角度落实类比迁移的认识，是学生比较认同的，整个认识活动其实就是有限到无限的一种阐释，对学生以后极限观念的形成作了孕伏，一举多得.

这样一来，不可操作的“直变曲”，转换为可以操作的检验方式（检验是否“多了一个硬币的周长”，无限逼近中圆的形象渐行渐清）.超验的“无限”困难被克服了.

写在后面

以上三例，都体现了辩证观点，两个是有限到无限、一个是特殊与一般！在这种辩证关系中去认识超验的知识，纵然学生没有成形的辩证观点，但这种对立统一的观点它们是认同的，对于这类难以直接感知的数学结论，用好辩证的武器不失良策，在教学实践中已经收到了优质的效果，从具体可感的操作到没法操作，靠的就是一种超乎寻常的想象，这种想象就是超验的，笔者在教学实践中正在为“超验”认识付诸努力.

参考文献

[1]蔡兆生.慢化教学的实施路径[J].中小学数学（初中），2015（05）：1-4