构造解析几何法求函数的最值

杨彩苹

【摘要】求函数的最大值与最小值方法灵活多样，有配方法、换元法、方程法，还可以利用函数的单调性等。不仅如此，还可以换个角度，从数学知识间相互联系出发，谈如何运用解析几何的知识与方法，来进行数与形的转换，正所谓的代数思想几何化，供助于图形的直观来探求函数的最值。

【关键词】解析几何 函数 最值

【中图分类号】0182 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）03-0163-02

一、利用斜率公式求函数的最值

例1：若x∈- ，0 0， 求函数f（x）= 的最大值

分析：此题常利用三角换元求解。然而仔细观察表达式的结构特征，也可以考虑把它与斜率公式联系起来，根据斜率的变化范围直观地确定函数的最值

解：令2y= 则x +y = （y≥0）

（如图所示），而 =

其中， 表示坐标平面上点P（x，y）与点c0， 连线的斜率，由于点P（x，y）在半圆上，由图分析可知kPC≥kBC≥-1，即kPC的最小值为-1.

∴函数f（x）max=2

例2：求函数y= 的最值

分析：由y= = 知y=kPA，

其中A（-1，0），px，

且点P在半圆y= （0≤x≤2）上，

由图可知：ymin=0，ymax=

小结：一般地，若函数可化为y= 或y= 等形式，且x= y= ？圯f（x，y）=0或x= y=g（x）？圯f（x，y）=0它们在坐标平面内表示图形均是我们所熟悉的简单曲线，此时可心考虑利用直线的斜率公式几何意义来求最值。

二、利用两点间距离公式求函数的最值

例3.求函数y= + 的最小值

分析：此函数表达式的结构较为复杂，且化简十分困难，又其单调区间和单调性不甚明确，求解最值有些困难，然而，仔细观察表达式的结构，可以发现两个根式内均可以配成完全平方式的形式。由此联想解析几何中的两点间距离公式：

几何意义是点P（x，0）分别到A（2，3）与B（5，1）的距离之和。（如图所示）

解：根据分析，找到B关于x轴的对称点B'（5，1）连AB'则ymin=AB'= =5

例4.求函数y= - 的最大值

分析：此例与上例形式相似，但有差异。它们的共同点是根式内均可以化成完全平方之和的形式。所不同的是上例求两距离之和的最小值，本例是求两距离之和的最大值。同样是利用两点间距离公式求解，但并不需要找对称点。

表示点P（x，0）到点A（1，6）和B（-1，2）点的距离之差的最大值。

显然P A-P B≤AB= =2

∴函数f（x）= - 的最大值为2

小结：一般地若函数y= ± 的形式，且x=g（x）y=h（x）？圯f（x，y）=0在坐标平面上的图像是直线或符合一定条件的简单曲线（曲线与A（a，b）B（c，d）连线的延长线相交）此时可考虑利用两点间距离差或和的几何意义来求值。

三、利用直线的截距式求函数的最值

例5.求函数y= + 的最大值和最小值

解：令x= y= ？圯x2=1-xy2=x+3这里（x≥0，y≥0）消去x得：x2+y2=4（x≥0，y≥0）它在坐标平面上的图形是圆的第一部分。如图所示，图像与X轴的交点为（2，0）与Y轴的交点为（0，2）记t= + =x+y

∴y=-x+t它在坐标平面上的图形是表示斜率为-1的直线系，t表示直线在Y轴上的截距。由于（x，y）在第一象限的圆上

小结：若函数y=ag（x）+b +c或y=a +b +c等形式，

且x=g（x）y= ？圯f（x，y）=0或x= y= ？圯f（x，y）=0在坐标平面内均表示我们所熟悉的简单曲线，由此考虑把问题转化为二维线性目标函数，利用直线方程的截距的几何意义来求解。

四、利用点到直线的距离公式来求函数的最值

例6.求函数y= 2-x- 的最大值

故y= 表示半圆U2+V2=2上的点到直线 U+V=2的距离

∴点A到直线U+V=2的距离最大 dmax=

例7.求函数f（x）=x+ +5的最大值

解：令2y= 则x2+y2= （y≥0）

它表示以原点为圆心，半径为 的x轴上方的半个圆，原函数的表达式可化为f（x）=x+2y+5= × 其中： 的几何意义表示半圆上的点P（x，y）到直线x+2y+5=0的距离，设此距离为d，又设原点到直线l的距离为m。

且x=g（x）y= ？圯f（x，y）=0或x= y= ？圯f（x，y）=0在坐标平面上均表示我们所熟悉的简单曲线，此时，可考虑利用点到直线的距离公式的几何意义来求最值。

这样又使一道有一定难度的题成为思有路，解应手的容易题。利用解析几何法求最值，大大的降低了求最值的难度，使学生的思维得到了很好的强化，提高了能力，激发了学生的求知欲。