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浅谈微积分中的研究性教学

2016-04-19游淑军

课程教育研究 2016年3期
关键词:数学分析研究性教学高等数学

游淑军

【摘要】研究了数学分析、高等数学等课程中的研究性教学。分析了实施研究性教学的必要。以函数的凸性为例,介绍了如何引入、组织研究性教学。

【关键词】数学分析 高等数学 研究性教学 凸函数

【基金项目】怀化学院教学改革研究项目(项目编号:201123)。

【中图分类号】O13 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089(2016)03-0161-01

研究性教学是以“问题”为中心,以培养学生的“问题意识”为根本目标的教学,意在让每个学生都能自我“想问题”,能独立思考、判断、评价、选择、创造,视野开阔,最终落实到对社会、自然世界以及自我人生的价值与意义的关注之中。

通过对数学分析、高等数学等课程实施研究性教学能够达到以下目的[1]。第一,提高学生学习数学的兴趣,让他们养成动脑思考、动手练习的习惯;第二,带着研究课题的学习,使得学生有目的的学习,以致课程的成绩有所提高;第三,学生获得了扎实的数学基础之后,有利于后继相关专业课程的进一步学习。第四,对于考研中数学分析或高等数学的成绩有直接的推动作用。

具体如何实施研究性教学呢?以函数的凸性这节课的讲授为例,从研究性教学的角度来组织实施这堂课。

首先提问:作函数的图形时,仅知道函数的单调性就够了吗?显然不够,如图1所示,虽然L1,L2,L3,都是从A点单调上升到B点的曲线,但它们的弯曲方向却不一样。所以想要比较全面地反映出曲线的性状,还需要考虑曲线的弯曲方向。

请同学们思考平面曲线的最基本的弯曲方向是什么?最基本的弯曲方向是图2、图3这两种情况。我们把具有图2特性的曲线称为下凸的,相应的函数称为下凸函数;把具有图3特性的曲线称为上凸的,相应的函数称为上凸函数。

如何把图形的这种几何直观用数学表达式表示出来呢?在曲线上任取两点A和B,设其坐标分别为(x1,f(x1)),(x2,f(x2))如图4、图5所示,请同学们观察曲线f(x)和割线AB在任意x∈[x1,x2]处函数值的大小关系。

可以发现若曲线f(x)为下凸函数,则曲线f(x)在x处的函数值小于割线AB在x处的函数值;若曲线f(x)为上凸函数,则曲线f(x)在x处的函数值大于割线AB在x处的函数值。将这句话用数学表达式写出来就是,设x=λx1+(1-λ)x2,λ∈(0,1),则下凸函数和上凸函数分别满足关系式

这时给出凸函数的定义,同学们就很容易理解了。如果将(1),(2)式中的不等式改为严格不等式,则相应的函数称为严格下凸函数和严格上凸函数。

容易证明:若-f为区间I上的下凸函数,则f为区间I上的上凸函数,因此只要知道了下凸函数的性质,就会知道上凸函数的性质。接下来讨论下凸函数的性质。

对于I上的任意三点x1

这时给出函数f为I上的凸函数的充要条件定理,那定理的几何意义就不言自明了。

进一步考虑割线PQ,割线PR和割线QR的斜率的大小关系,如图6。可以发现割线PQ的斜率小于割线PR的斜率,割线PR的斜率小于割线QR的斜率,用数学表达式写出来就是

这时给出函数f为I上的凸函数的另一个充要条件定理,也是非常自然的。

接下来考虑可导函数的凸性。设f为I上的下凸函数,且f在区间I上可导,则f为I上的每一点处都有切线。思考切线与曲线f(x)的位置关系,见图7。发现曲线f(x)总是在它的任一切线的上方,用数学表达式表示出来就是,对I上的任意两点x,x0,有

这时给出可导函数f为I上的凸函数的充要条件,同学们理解起来就没有问题了。

进一步思考曲线f(x)在不同点处切线斜率的变化规律,如图8所示。可以发现曲线f(x)的切线斜率由左至右是逐渐增大的,即f'为I上的增函数。这时给出可导函数f为I上的凸函数的另一个充要条件,就显得非常简单了。

这样一来,无论是定义还是充要条件,同学们学起来,理解起来都显得非常的自然,从而更有利于知识的掌握。既能提高学生学习的兴趣,又能提升学生分析、解决问题的能力,达到很好的教学效果。

参考文献:

[1]同济大学数学系. 高等数学[M]. 北京:高等教育出版社,2007.

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