实变函数课程探讨—Cantor集，分数维与分形

【摘要】本文主要探讨实变函数课程中一类重要的集合—Cantor集，并在此基础上引出相应分数维的概念并指出维度和测度之间的关系。另外，我们探讨现代几何的一个重要分支——分形几何并叙述它在实际中的重要应用。

【关键词】Cantor集 分数维 分形

【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）03-0130-02

众所周知，实变函数是大学数学专业里较为难学的一门课。由于其抽象性和概念化，学生往往很难在整体上把握它。在这门课程中[1]，第一章会讲集合论的基础知识。通过掌握一一对应的概念，无穷集合有了详细分类，即以正整数集为代表的可数集合以及以实数集为代表的不可数集合。在第一章结束时，学生已经较为熟悉可数集和不可数集的特征，并能够正确给出无穷集合所属的范畴。但是，第二章中Cantor集的引入使学生对无穷集合又多了几分困扰，但是如果对Cantor集有正确的认识，那相应的对集合论的认识会有一次质的飞跃。为此，本文用比较通俗化的表达方式阐述和解释Cantor集。

三、分形

由上述构造过程，我们发现Cantor集是通过逐步迭代得出的，而且每一步迭代过程产生的集合和原集合具有相似性，称之为自相似性，并且随着迭代次数的增加，集合会呈现为一种特别的结构。法国数学家Mandelbrot[3]首次研究了这类集合，并把这类不规则的图形定义为“分形”，开创了新的数学分支，分形几何学。分形几何方面的一个重要例子是德国数学家科赫给出的科赫曲线或者叫雪花曲线。它的构造原理类似于Cantor集。 Cantor集和科赫曲线都是理论上的构造。事实上，这种不规则的图形普遍存在于大自然中，被称为大自然的几何。在这方面，最有名的便是布列塔尼海岸线的测量[3]。测绘学家通过不同的方式（不同尺度下）测量出来的长度差别很大，特别是在尺度越来越小时，发现海岸线的长度趋向于无穷大。用分形几何上的解释可知，布列塔尼海岸线是维数大于1小于2的一条连通曲线。目前，分形几何学作为一种新的研究领域，已经受到越来越多的数学家的关注。

参考文献：

[1]程其襄，张奠宙，魏国强，胡善文，王漱石.实变函数与泛函分析基础（第三版），高等教育出版社，2010。

[2]林琦焜.数，十进位和Cantor集，数学传播，24（4），1989。

[3]B.Mandelbrot， 分形对象： 形、机遇和维数，世纪图书出版社，1999。

作者简介：

胡玉玺，男，山东人，博士，讲师，研究方向：非线性偏微分方程。