用数学方法研究乒乓球上旋球的飞行轨迹*
2016-04-15薛社教渭南师范学院陕西渭南714000
薛社教(渭南师范学院,陕西渭南714000)
用数学方法研究乒乓球上旋球的飞行轨迹*
薛社教
(渭南师范学院,陕西渭南714000)
摘要:通过对乒乓球的受力分析建立乒乓球的动力学模型进而建立数学模型并用数学软件Matlab进行绘图,从而揭示旋转速率对乒乓球的飞行轨迹的影响。乒乓球的上旋球是攻击技术中最常用的乒乓球技术。乒乓球在飞行过程中基本上受到四种力的作用,包括重力、飞行阻力、浮力还有马格努斯力。通过受力分析建立动力学方程用Matlab对乒乓上旋球的飞行轨迹进行绘图分析得知,乒乓球的飞行轨迹和乒乓球的旋转速率有重要关系。旋转越强的上旋球其弧线的弯曲程度越明显,第一弹跳点越近,飞行的垂直高度越低。通过对比不同的旋转速率的乒乓球的飞行轨迹发现:造成上述现象的原因是乒乓球的旋转速率不同,其又对应着不同的马格努斯力。
关键词:上旋球;旋转速率;马格努斯力
Abstract:Dynamical model is established via force analysis of table tennis and then mathematical model is established employing mathematical software Matlab in drawing, in order to reveal the influences of rotation speed on the flight path of tennis. Topspin tennis is a tennis technique most commonly used in the attack technology. Table Tennis is basically affected by four forces in the process of the flight, including gravity, drag, buoyancy and Magnus force. Flight path of topspin tennis is drawn and analyzed through the stress analysis and dynamical equation by using Matlab. The important relationship between the rotation rate of table tennis and table tennis ball flight trajectory is revealed through the comparative analysis: The stronger the rotation of topspin is, the more obvious in the degree of arc crook, the closer the first bounce point is, and the lower the vertical height of flight. It is founded that the reason of the above phenomenon lies in the different speed of rotation and magnus force corresponding to the different speed of rotation.
Keywords:topspin; rotating speed; magnus
引言
乒乓球运动有广大的群众基础。也被誉为聪明人的运动,乒乓球的变化多,最主要的是因为乒乓球的旋转多,能造成各种各样的击球和飞行轨迹[1]。弧圈球中的上旋球,是威力最大的一种进攻技术,和没有旋转的乒乓球比较,上旋球能产生较好的弧线,使乒乓球准确的落在台面上。这样乒乓球运动员可以充分发挥自己的力量和乒乓球拍的性能,制造比较转的上旋球,增加对手的防守难度。本文通过对乒乓球上旋球的进行受力分析,根据牛顿定律建立力学方程,进而建立数学模型,确定初始条件并用Matlab对乒乓球的上旋球的飞行轨迹进行直观的绘图。对不同的图像分析,可以得出不同的旋转速率对飞行轨迹造成的具体影响。
一、乒乓球在飞行过程中受到的力
(一)重力
物体在地球表面会受到地球的吸引叫做重力,重力的大小和物体的质量成正比,方向总是竖直向下,重力的计算公式如下:
F1=G=mg
其中m为乒乓球的质量。按照2000年10月国际乒乓球联合会的规定,乒乓球的直径为40毫米,质量为2.7克。
(二)气体浮力
浸在气体里的物体受到气体竖直向上施加给物体的力叫做气体的浮力。球的体积计算公式:
浮力在数值上等于物体排开同等体积的气体的的质量。其计算公式如下:
(三)空气阻力
空气阻力是由于物体在空气中运动时受到的阻力,它与多方面的因素有关,物体的速度,形状以及空气的密度都会影响其大小。空气的阻力可以看做是空气对在它里面运动的物体的粘性作用。粘性作用可以看作是流体对在它内部运动的物体的摩擦力。这里粘性作用与雷诺数[2]有关,雷诺数越小表示着粘性力的作用越大,雷诺数越大表示着粘性力的作用越小。雷诺数计算公式如下:
其中η为粘滞系数。
我们取室温为10℃,因此粘滞系数η为1.78×10-6,ρ=1.205kg/ m-3,因此我们应该先计算出乒乓球运动时的雷诺数:
空气阻力FR的大小与乒乓球速度大小的平方成正比[3],其计算公式如下:
表1 不同温度状况的粘滞系数
CD为阻力系数,不同的雷诺数范围对应着不同的阻力系数[4,5]
(四)乒乓球由于旋转而引起的马格努斯力[6]
马格努斯效应是由于自身带有旋转的物体在粘性流体中运动产生的。一般情况下,在粘性流体中运动的物体主要受到的力为空气阻力、升力还有侧压力,当乒乓球在空气中高速旋转时,由于空气具有粘性,那么,乒乓球由于旋转会带动它周围的空气转动,即产生环流:当环流和由于乒乓球运动产生的回流方向相同时流速加快,相反是流速减慢;由此可见,乒乓球的上方流速慢,下方流速快,根据伯努利原理,流速加快则气体的压强变小那么乒乓球这一侧压力小,流速减慢则气体的压强变大那么乒乓球这一侧压力大,马格努斯力就是乒乓球两侧的压力差。
由如可夫斯基环流理论可知[7,8],马格努斯力的计算公式如下:
其中,ω为旋转速度。马格努斯力的方向的判定方法:伸出右手,大拇指、食指、中指两两互相垂直,大拇指所指方向乒乓球旋转的角速度方向,食指指向乒乓球速度方向,那么马格努斯力的方向就是中指所指的方向。在这里要提一下,角速度的方向判定方法:伸出右手,四指指向乒乓球旋转的方向,大拇指的指向就是角速度方向。
(五)受力分析图
乒乓在空气中飞行时主要受到四个力的作用:重力、空气阻力、空气浮力还有当乒乓球在空气中旋转时,乒乓球由于旋转会带动周围的空气形成环流,由于环流和回流的影响会使乒乓球受到马格努斯力。受力分析图如下:
二、建立数学动力学方程
按照牛顿第二定律,可以建立乒乓球在X轴Y轴的动力学方程:
其中,X、Y分别代表横向和纵向。
图1
表2 模型方程初始参数设定
三、用Matlab对乒乓球的飞行轨迹进行画图
当转速ω=0r/s时图形如图2:
图2
当转速ω=40r/s,ω=80r/s,ω=120r/s,水平位移将会依次减小。
四、图像结果分析
根据四幅图的对比我们可以看出:即使在初始条件中起始位置和乒乓球的速度一样,由于乒乓球的旋转速率不同,乒乓球的飞行轨迹也呈现出很大的不同:旋转速率越慢的球,飞行的水平距离越远,飞行的最大高度越高;而旋转速率越快的球,飞行的水平距离越近,飞行的最大高度越低,弧线低平。可以看到旋转速率为0、40、80r/s的击球的第一落点与起点的距离都超过3m,而只有乒乓球的转速达到120r/s时的距离大约为2.4m。而且可以看出乒乓球飞行轨迹的垂直高度随着转速的增加而不断地降低。由此可以得知:运动员可以通过控制乒乓球的旋转速率来控制乒乓球的飞行距离和飞行高度,旋转越快,飞行距离越近,反之越远;旋转越慢,飞行高度越高,反之越低。
五、结束语
(1)乒乓球的飞行过程是空气阻力、空气浮力、重力和马格努斯力综合作用的过程。其中由于乒乓球的旋转而引起的马格努斯力对乒乓球飞行轨迹的不同起着决定的作用。(2)在初始速度和位置相同的条件下,乒乓球的旋转速率越快,飞行距离越近,反之越远;旋转速率越慢,飞行高度越高,反之越低。(3)通过乒乓球旋转速度对乒乓球飞行轨迹的影响,在实际中运动员应尽量提高乒乓球上旋的转速以减少无谓的失误。
参考文献
[1]张惠钦.乒乓球的旋转[M].北京:人民体育出版社,1986:17-18.
[2]漆安慎,杜婵英.力学[M].高等教育出版社,2005:403.
[3]朱照宣,周起钊,殷金生.理论力学[M].北京:北京大学出版社,1982:258.
[4]HINDS WILLIAM C.Aerosol Technology:properties,behavior,and measurement of airborne particles [M].New York:John Wiley Sons,Inc,USA,1982:101-104.
[5]GOLDSTEIN S.Modern developments in fluid dynamic [M]. Oxford,England:Clarendon Press,1998:250-252.
[6]孙在,余广鑫,郭美.乒乓球弧圈球的空气动力学原理及其飞行轨迹的仿真分析[J].体育科学,2008(4):69.
[7]赵凯华,罗尉茵.力学[M].北京:高等教育出版社,1996:240-242.
[8]刘大为.球体飞行轨迹异常的探讨[J].大学物理,1987(1):43-45.
作者简介:薛社教(1965-),渭南市人,渭南师范学院副教授,主要研究方向:基础数学。
中图分类号:O411
文献标志码:A
文章编号:2096-000X(2016)06-0263-02
*校内支持项目:1.卓越教师数学教学技能培养的长效机制研究(JG201551)2.数学课程多媒体教学实践的现实性问题研究(2015JYKX017)。