浅论高中数学解题过程中构造法的运用

2016-04-13杜新生

中学课程辅导·教学研究 2016年17期

⌾杜新生

(作者单位：山东省宁阳第二中学 271400)

浅论高中数学解题过程中构造法的运用

⌾杜新生

高中阶段是一个在较短时间内学习大量较难知识的阶段，高中数学对高中生来说更是一门很难的学科，常规的思维方法一般很难对高中数学题进行求解，构造法是一种新颖的解题思维方法。本文首先介绍了构造法的概念和特点，接着从函数、方程、数列、几何图形四个方面通过列举实例说明介绍构造法。

构造法；高中数学；解题过程；应用案例

一、构造法的含义

在进行数学问题的求解时，很多同学使用的都是常规的思考解题方法，常规的思考解题方法就是根据数学问题中已经给出的条件，向结论方向做定向思考，然而数学的某些问题如果一贯使用常规的思考问题的方式是很难得到最终正确答案的，有的问题甚至会毫无头绪，没有办法下手。就好比我们走路时遇到障碍后，常规的思维方式都是把障碍清除，然后再通过，但是发现障碍很难清除，这个时候就必须找到一条新的路绕过障碍，才能更快更简单地到达目的地。也就是说，当我们以常规的解题思维方式得不到正确的答案时，我们就应该摒弃常规的解题思维方式，从新的角度思考，这样就可以找到一种新的解题思路，从而得到正确的答案。

构造法是一种比较新颖的解题思维方法，是通常遇到的数学问题以常规定向的思维方式不能得以解决的时候，通过根据题中给出的已知条件与正确答案的特点和本身的性质，以不同的角度和不同的观点，将对象进行细致观察、分析后加以相应的理解，并且紧紧抓住题中已给条件和所想获得的结论两者之间的联系，根据题中所给出的数据、坐标等信息的特点，把问题中已经给出的条件作为原材料，将自己已经知道的数学关系式与理论当成工具，再加上自己的思考，构造出满足题中给出的已知条件或者结论的数学对象，以便在刚才构造出来的新的数学对象中清楚明了地表达显示出原来问题中隐藏的关系和性质，最后把新的数学对象作为一种工具，借用这个工具帮助自己高效地解决原来的数学问题，得到相应的正确答案或者证明相应的结论，这种新的解题思维方法就是构造法。构造法在数学历史发展的长河中发挥着巨大的作用，譬如欧几里得、高斯等非常有名的数学家，都有过使用构造法解决自己遇到的数学难题的经历，构造法给他们无尽的启示与灵感。

数学是一门需要创造性的学科，这门学科体现着异常丰富的美感。在进行数学研究或者解决数学难题时，巧妙地构造出新的数学对象快速高效解决问题，往往会使人眼前一亮，给人一种柳暗花明的感觉，数学的一部分美也就在这时体现出来。与此同时，还会使你更专注地深入其中，体会其中的乐趣与发掘其中的美，不仅给人带来了相应的研究价值，还具有一定的欣赏意义。

二、构造法在高中数学解题过程中的应用

1.构造法在高中数学解题中的应用基础由于构造法在解决数学难题中发挥的作用越来越明显，尤其是在数学素质要求较高的数学竞赛中作用更明显，平时的数学学习也离不开构造法的应用。使用构造法解决数学上遇到的问题，需要学生的数学知识和解题经验非常丰富，这是进行构造的重要知识基础。要求学生具有很强的观察能力，能看出和抓住已知条件与结论之间的联系，还需要学生具有较强的综合能力以便利用数学中方程、几何等各方面的知识，更不能缺少的就是较强的创造能力，这是进行构造法的关键。利用构造法解决数学上遇到的难题时，有许多形式各样的对象能够被用来构造，根据这些对象的特点或者内容可以将它们划为函数、方程、图形、反例等。在使用构造法解决数学难题时，切忌生搬硬套，构造法是没有特定的模式和套路的，是非常灵活的。构造法的特点是“构造”，而怎样“构造”，没有通用的“构造”法则，但是其中还是有一定的规律可言的。首先要明白自己进行构造的目的，再者要弄明白问题的特点，再根据具体的情况，确定进行构造的方案，灵活巧妙地使用构造法构造相应的数学对象，以便快速地解决数学难题。

2.构造法在高中数学解题中的应用实例往往高中数学对课业繁重的高中生来说是晦涩难懂的。正确恰当地使用构造法，不仅高中生可以方便快捷地求解高中数学题，缩短考试时的做题时间，提高做题的正确率，还可以使高中生在使用构造法的过程中对数学各方面的知识得以综合使用，加深对所学知识的理解和扩展自己解题的思路，促进以后的学习。下面举例介绍构造法在高中数学不同知识点中的解题应用。

(1)构造函数应用。函数是数学中的一部分重要的知识，灵活运用可以解决很多数学问题。要想灵活地运用函数，首先必须掌握函数的特性，函数的特性有有界性、单调性、奇偶性、周期性、连续性、凹凸性、复合函数、反函数等，只有熟练掌握了函数的这些特性，才能够灵活正确地使用函数解决数学问题。在解决数学问题的过程中，一定的情况下，可以根据问题中给出的已知条件的特点与结论的特征，利用函数的特性，构造相应的函数，把一些不等式证明等问题转变为函数的特性分析，会在很大程度上简化问题，缩短做题时间，提高解题效率。现在运用构造函数的方法解决数学题有几个难点：一是高中的数学题形式各样，很难分清那种题型可以使用函数构造法解决数学问题，哪些不可以使用，这对高中生的要求很高。二是使用函数构造法构造函数，其本身的难度就比较大，高中生一般很难灵活使用。三是解题过程中哪一步需要构造也很难搞清楚，有的需要一开始就构造，有的是在解到一半的时候需要构造函数，这都体现了这种方法的难度。下面举一个简单的例子说明这种方法的运用。

把不等式问题变成了利用函数的特性进行求解的问题，简单快速地解决这个不等式问题。

(2)构造方程应用。方程是在接受初中教育时就学习的一种数学知识，对高中生来说方程不是一种新的事物。方程指的是那些含有未知数的等式，解方程也就是求其中的未知数的值，或者未知数的表达式。有些数学问题有很多未知条件，这个时候为了避免进行逆向思考，就可以直接列方程，将未知数用数学符号等表示，然后建立等式，再根据等式之间的关系进行未知数的求解，省去了不少麻烦。高中数学问题由于计算量的增大、未知量的数量增加和未知量之间关系的复杂化，使得直接进行未知量的求解根本无从下手。很多情况下可以运用初中所学的解方程的基础知识和高中解方程的知识，利用问题中给出的条件和结论之间的关系，构造出相应的方程。这样不但可以使问题简单化，易于下手，解题过程也变得简单，计算量减少，不容易犯错，能够快速地得到正确答案，节省了宝贵的学习时间，还开阔了学生的解题思路，提高了学生的观察能力和数学知识的综合运用能力。