详解函数y=Asin(x+)的图像

⌾任晓丽

(作者单位：甘肃省兰州市第六中学 730000)

详解函数y=Asin(x+)的图像

⌾任晓丽

函数y=Asin(x+)的图像的教学是高一数学教学的一个难点。解决了这个难点，可以使学生清楚地掌握函数y=Asin(x+)的图像与性质，同时加以推广，还可以使学生掌握一般函数y=Af(x+)的图像变换，达到触类旁通的效果。

分层教学；一般函数；图像变换

函数y=Asin(x+)的作图，教材中介绍了“五点法”与图像变换法。五点法是画简图的具体操作，只须找准五个关键点(三个零点与两个最值点)，方法是设X=x+,令X分别取0、π、2π，求出对应的x与y的值，描点、连线即可。比较而言，学生容易掌握。而图像变换法才是基础，也是教学目的所在。它提示了正弦函数图像的内在联系、是本章重中之重。只有搞清了图形变换，即振幅变换、周期变换、相位变换、平移变换，才能达到全盘皆活的功效。下面就本人对函数y=Asin(ωx+φ)的图像的教学作如下探究，不馁之处、敬请同仁指教。

一、 分化难点，实施分层教学

为了更好地实施因材施教，让不同的学生在数学上有不同程度地发展，结合学生数学素质与学习情况，将学生按一定的比例分为高、中、低三个层次，将y=Asin(ωx+φ)的图像的教学分为三个层次目标。第一层次目标：会用五点法作图，面向所有的学生，让低层的学生参与到学习中来；第二层次目标：让学生掌握单一的图形变换，通过学习课本中给出的例例2、例3，让学生掌握：

①振幅变换：y=sinxy=Asinx (A>0且A≠1)

②周期变换：y=sinx y=sinx (>0且≠1)

③相位变换：y=sinxy=sin(x+)(≠0)

④平移变换：y=sinxy=sinx+k(k≠0)

这一层目标主要面向中、低层学生，力争让低层学生由学习的思考者变为学习的活动者。第三层目标：让学生掌握y=Asin(ωx+)的复合变换。给出例题

例4 如何由y=sinx的图像变换得出y=3sin(2x+)的简图？

因为学生已经掌握了上述四种单一变换，所以会对本题或多或少地发表见解，这时可不失时机地分组讨论，既培养学生的协作精神，又让学生在讨论中发现问题，让基础较差的学生由旁观者变为思考者，中等学生由思考者变为参与者，然后引导学生总结方法：

由于A、、的次序不同，从y=sinx图像到y=Asin(x+)的图像的变换可分为A3 3种不同的形式，即：A--，A--，--A，-A-，--A，-A-六种。但在这六种不同变换中，可以发现与是互相影响的，而A在变换过程中不影响与，也不受与变换的影响。因此，在这六种变换中可先不考虑A，等ω与变换好之后再来变A。这样，上述六种变换可以化为两大类，即：“--A”与“--A”，所以可引导学生用两种方法解题：

方法一：“--A”： y=sinx y=sin( x+) y=sin(2x+) y=3sin(2x+)

方法二 “--A”： y=sinx y=sin2x y=sin(2x+) y=3sin(2x+)(图略)

但在这两种不同的方法中学生很容易出现以下易错点：

易错点1：移时移多少？学生在解题时往往不论与的先后次序，一律移||个单位。为了预防这个错误的发生，教学时可这样讲解，先后，没有来及影响，故只需移||个单位；而先后，则没有赶上的伸缩机会，要补上伸缩，需移个单位。

易错点2：在先后中，是否受的影响？学生在解题时往往出现这样情形：

y=sin(x+) y=sin(x+)

为防止出现此类问题，可给学生强调：先后，没有来及影响，所以不参加伸缩变换，得到y=sin(x+)。而y=sin(x+)是把y=sinx左右平移||个单位得到。

第三层目标主要面向中高层学生，充分发挥学生的学习主动性与创造性，不仅让学生知其然，而且要知其所以然。应该说有了以上三个层次的教学，学生初步掌握了函数y=Asin(x+)的图像变换。在此基础上，略加引导，学生就会掌握其他三角函数的图像变换。但对非三角函数的图像变换的情形又将是如何呢？

二、 拓宽知识，提升理论、概括一般函数的图像变换

设疑：对任意函数y=f(x),怎样通过图像变换得到y=Af(x+)+k的图像？结合y=Asin(x+)的图像的单一变换，引导学生学习并总结。不难理解，在y=Af(x+)+k的图像变换中，与k是通过左右与上下平移来实现的，而A与是通过压缩或拉伸y=f(x)图像上所有点的纵坐标与横坐标来完成变换的。具体总结如下：

变换1： 一般地，y=Af(x) (A>0且A≠1)的图像可看作是y=f(x)图像上所有点的纵坐标拉伸(A>1)或压缩(0

变换2： 一般地，y=f(x) (>0且≠1)的图像可看作是y=f(x)图像上所有点的横坐标压缩(>1)或拉伸(0<<1)为原来 的倍(纵坐标保持不变)而得到的。称为横向伸缩变换

变换3： 一般地，y=f(x+) +k(≠0且k≠0)的图像可看作是y=f(x)图像向左(>0)或向右(<0)平移||个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位得到。称为平移变换

例5 把函数y=log2(x-1)的图像向右平移个单位，再把横坐标压缩为原来的，所得图像的函数表达式为 ____________________。

分析：由平移变换与横向伸缩变换可知

y=log2(x-1) y=log2(x-) y=log2(2x-)

强调：在先后的变换中，没有来及影响。

此时，同学们可能会问为什么要限定A>0且A≠1和>0且≠1呢？A和可不可以为负值？

这个问题问得好，可以这样讲解：当A﹤0(﹤0)时，-A>0(->0)，就出现了y=Af(x)与 y=-Af(x)(y=f(x) 与y=f(-x))之间的关系。显然，y=Af(x)与 y=-Af(x)图像上对应点的横坐标相等、纵坐标相反，图像关于x轴对称;同理可知，y=f(x) 与y=f(-x)的图像关于y轴对称。引导得出

变换4：一般地，y=-Af(x)图像可看作是由y=Af(x)的图像关于x轴对称得到; y=f(-x)图像可看作是由y=f(x)的图像关于y轴对称得到。称为对称变换、也称整体翻转变换

推论：一般地y=-Af(-x)图像可看作是y=f(x)的图像关于原点对称得到

例6 已知函数y=f(x)的图像变换如下

y=f(x) C1： C2： y=2x+1

求f(x)的解析式

分析：方法一： 将以上变换逆回头

y=2x+1 C2：y=-(2x+1) C1: y=-(2x -2+1)

y=-(23x -2+1)

方法二： 利用点变换

设P(x,y)是y=f(x)图像上的任意点 P1 (3x,2y) P2(3x-2,2y) P3(3x-2,-2y)

∵P3在y=2x+1上 ∴y=-(23x -2+1)

对于任意函数y=f(x)除了以上伸缩变换、平移变换、整体翻转变换以外，还有部分翻转变换

f(|x|)= |f(x)|=

即在作函数y=f(|x|)图像时，只需先画出y=f(x)在y轴右侧的部分(y=f(x)，x≥0)，再将右侧的部分翻转1800到y轴左侧，左右两侧看作整体就是y=f(|x|)的图像。而作y=|f(x)|图像，则是保留了y=f(x)图像在x轴上侧的部分，并且把x轴下侧的图像沿x轴翻转1800到x轴的上方，就得到y=|f(x)|的图像了。

对于知识点的拓宽力争让所有学生都参与其中，在老师的引导下讨论学习，只有掌握了以上几种图像变换，才能使学生做出正确函数的图像，同时提高学生的识图能力和数形结合的解题能力。

(作者单位：甘肃省兰州市第六中学 730000)