高中数学解题教学中的分类讨论策略

安徽省怀远一中高三（2）班　张逸凡

高中数学解题教学中的分类讨论策略

安徽省怀远一中高三（2）班张逸凡

在高中数学学习中，解题策略对数学学习至关重要。其中分类讨论思想扮演着重要角色，分类讨论是一种数学逻辑方法，也是一种重要的数学思想。有关分类讨论的数学命题在高考中也占有重要地位。所谓分类讨论，顾名思义就是当问题所给的对象不能统一研究时，就需要按某一标准将研究对象按某个标准进行分类，最后结合各类结果得到一个整体的答案。

一、把握高中数学分类思想目标

分类讨论是高中数学中的重点与难点，想要真正掌握分类讨论思想并不容易。对于分类讨论思想一定要注意以下三方面：第一，明确引起分类讨论的原因。只有知道了分类讨论的原因，才有了目的性，才可以做到有的放矢，才可以更有效地去解题。引起分类讨论的原因有许多种，比如概念、定理、法则、性质等。第二，掌握准确分类讨论的方法。想要做到合理分类，那么在分类时一定要有个统一的标准，做到不重不漏。第三，注意分类讨论结论的整合。分类思想需要具有一定的逻辑能力，对学生的分析、理解能力要求较高。在分类得到许多种结果后，我们要学会对结果进行整合归类，将答案清晰、规范地写出来。

例如：设集合C=｛0，2，4，6，8｝，找出C的两个非空子集分别设为A和B，如果要让集合B中最小的数大于集合A中最大的数，那么有多少种不同的选择方法？我们可以先来分析：据题意可知，需要满足两点条件（1）子集A和B非空（2）B中最小数大于A中最大的数，那么该如何实现这两个条件呢？学生一看到这种比较绕的题目就头疼，就不知所措。解决这种题最好的方法就是分类讨论。我们可以这样写：①如果B中最小的数是2，那么在这种情况下A只有1种选法，即A=｛0｝，而B有8种选法，就是4、6、8三个数根据排列组合可以算出来所有的情况。②如果B中最小的数是4，那么在这种情况下A有3种选法。根据这种方法继续算下去，可以得到最终结果为49。

二、落实高中数学分类讨论应用

分类讨论是数学中一种重要的思想和解题方法，旨在考察我们思维的逻辑性、周密性和全面性。此类题综合性强，难度大，同学们很难学以致用，很难将它真正运用到解题过程中，而且在历年高考题中也以压轴题的形式出现，对学生能力的要求较高，具有很强的选拔性。因此，我们一定要将所学知识应用到解题过程中。应用分类讨论有以下几点原则：第一，分类中每一部分都是相互独立的；第二，一次分类按一个标准；第三，分类讨论应逐级有序进行；第四，以性质、公式、定理为使用的条件为标准分类。我们在解题时要牢记这几个原则，熟能生巧，一定可以掌握分类讨论的方法。

例如：设k∈N，求满足不等式|m|+|n|＜k的整数解组的（m，n）解集。先分析：一看这种题就比较复杂，我们可以把k看作参数，那么整数解的组数与k有关，设它为g（k），先讨论特殊情况，探索规律，大胆作出猜想，再想办法证明。当k=1时，有解（0，0），即g（1）=1；当k=2时，有解（0，0），（0，±1），（±1，0），即g（2）=1+4=5；当k=3时，有解（0，0），（0，±1），（0，±2），（±1，0），（±1，±1），（±2，0），即g（3）=1+4+4×2；当k=4时，有解（0，0），（0，±1），（0，±2），（0，±3），（±1，0），（±1，±1），（±2，0），（±3，0），（±1，±2），（±2，±1），即g（4）=1+4+4×2+4×3。我们猜想：g（k）=1+4×1+4×2+…+4（k－1）=1+2k（k－1）。由此也能得出递推式g（k）=g（k－1）+4（k－1）。

三、突出高中数学分类讨论简捷

我们都知道，当数学题中出现多个参数时，如果我们不用分类讨论方法的话，那我们一会就把自己绕进去了，就像走迷宫一样，很难再出来，最后结果肯定是不了了之，解不出来这道题。所以说分类讨论是一种可以把数学题简化的方法，逻辑性很强，我们学生学会这种方法不仅仅是为了应付高考，而且它会对以后生活中思考问题、处理问题的方式产生巨大影响。

例如：设f（a）=a10－a5+a2－a+1，求证：对于一切实数a，都有f（a）＞0。还是先进行分析：我们很容易会联想到指数函数（x）=ax，然后可以结合它的单调性进行证明，而函数f（x）=ax的单调性与它的底数a有关，所以又要分类讨论。①当a＜0时，a的偶次幂为正，奇次幂为负。f（a）=a10+（－a）5+a2+（－a）+1≥1，即f（a）＞0。②当a=0或a=1时，即f（a）=10。③当a＞1时，指数函数f（x）=ax为增函数，显然，a10＞a5，a2＞a，所以f（a）=（a10－a5）+（a2－a）+1＞1。④当0＜a＜1时，指数函数f（x）=ax为减函数，显然，a5＜a2，所以f（a）=a10+（a2－a5）+（1－a）＞0。综上所述，对于一切实数a，都有f（a）＞0。

思想的形成，方法的掌握才能使我们真正受益，才能培养我们的探索能力，自我创新能力和综合能力。在高中数学学习中，分类讨论思想是一种比较重要的数学思想，通过不断练习和总结，我们才能够有从量变到质变的提升。这样，也才会不断提高我们对数学学习的乐趣，从而培养思维的缜密性，取得好的数学学习成绩。