相交线与平行线中的数学思想

□邹兴平



相交线与平行线中的数学思想

□邹兴平

数学思想是解题的灵魂，在学习和运用数学知识的过程中，起着重要的作用.渗透在相交线与平行线中的数学思想较多，下面举例说明几种主要数学思想的应用.

一、数形结合思想

利用数量关系研究图形或利用图形研究数量关系，这种借助数与形的相互转化来研究和解决数学问题的数形结合思想，在进行角度的计算和证明时经常被用到.

例1如图1所示，已知BD∥FG∥EC，∠ABD=60°，∠ACE=50°，AP平分∠BAC，求∠PAG的度数为______.

图1

分析：由图可以得出∠PAG= ∠BAG-∠BAP，所以需求出∠BAG和∠BAP的度数.

解：由BD∥FG且∠ABD=60°，得∠BAG=60°，同理，由FG∥EC，∠ACE=50°，得∠CAG=50°，所以∠BAC=∠BAG＋∠GAC=60°＋50°= 110°.又AP平分∠BAC，则∠BAP=∠BAC=55°，所以∠PAG=∠BAG-∠BAP=60°-55°=5°.

二、转化思想

在研究平行线时，常常将平行线的位置关系与角的数量关系相互转化.

例2如图2，A、B、C三点在同一直线上，∠1=∠2，∠3=∠D，试说明BD∥CE.

图2

分析：要说明BD∥CE，只需要证明∠3=∠DBE即可，而∠3=∠D，也就是转化成要证明∠D=∠DBE，这就需要转化成证明AD∥EB，而由∠1=∠2不难得出此结论.

解：因为∠1=∠2，则AD∥BE（内错角相等，两直线平行），所以∠D=∠DBE（两直线平行，内错角相等）.而∠3=∠D，所以∠3=∠DBE（等量代换），所以BD∥CE（内错角相等，两直线平行）.

三、方程思想

几何中常有一些求线段的长度或求角的大小的问题，我们可以借助题中的已知量与未知量之间的关系，设未知数列方程，通过解方程来求出问题的解.

例3如图3，已知FC∥AB∥DE，∠α∶∠D∶∠B=2∶3∶4，求∠α，∠D，∠B的大小.

图3

分析：由已知∠α∶∠D∶∠B=2∶3∶4，可以分别设∠α，∠D，∠B为2x°，3x°，4x°，再利用已知条件列出方程进行求解.

解：设∠α=2x°，∠D=3x°，∠B=4x°.因为FC∥AB∥DE，所以∠2＋∠B=180°，∠1＋∠D=180°.从而有∠2=180°-∠B=180°-4x°，∠1=180°-∠D=180°- 3x°.又因∠1＋∠2＋∠α=180°，所以有（180-3x）＋（180-4x）＋2x=180，解得x=36，所以∠α=2x°=72°，∠D=3x°=108°，∠B=4x°=144°.

四、构造思想

当遇到的几何问题直接解决比较困难时，可通过对图形添加辅助线来创造解题条件，问题便可以顺利解决.

例4如图4（1）所示，已知∠BED=∠B＋∠D，试说明AB与CD的位置关系.

图4

分析：由已知条件无法判断AB与CD的位置关系，需添加辅助线构造条件.如图4（2），过E作∠BEF=∠B，则AB∥EF，由已知可得∠FED=∠D，则CD∥EF，由平行公理可得：AB∥CD.

解：AB∥CD.理由如下：过E作∠BEF=∠B，则AB∥EF（内错角相等，两直线平行），而∠BED=∠BEF＋∠FED=∠B＋∠D，得∠FED=∠D.所以CD∥EF（内错角相等，两直线平行），故AB∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行）.

五、分类讨论思想

在几何题中，有些题目未给出图形，这时我们就要结合题意画出图形.画图时要考虑可能存在的所有情况，以免漏解，这一过程常具有多样性，我们需要分类讨论.

例5在∠ABC和∠DEF中，DE∥AB，EF∥BC，请你尝试探索∠ABC和∠DEF的关系.

分析：根据题中两角所在边的位置关系，此图有两种不同的画法，如图5（1）和图5（2）.

图5

解：如图5，有两种不同的情况.

在图5（1）中，因为DE∥AB，EF∥BC，所以∠ABC=∠1，∠1= ∠DEF.故∠ABC=∠DEF.

在图5（2）中，因为DE∥AB，所以∠ABC＋∠1=180°.又因为EF∥BC，所以∠1=∠DEF.故∠ABC＋∠DEF=180°.