感悟“不变量”的魅力

◇王 兵

感悟“不变量”的魅力

◇王 兵

有些应用问题，数量变化多，看起来很复杂,无从入手，变来变去，但若仔细分析，往往总有一个量是不变的，这就是我们所说的“不变量”。如果能引导学生抓住“不变量”这个关键，就有助于学生很快找到最佳解题思路，提高解题能力。

例1：甲、乙两人分别从相距50千米的A、B两地同时相对出发。与此同时，猎狗以每小时6千米的速度从A地出发，遇到乙后立即返回向甲奔去，在遇甲后，又向乙奔去……就这样，猎狗不停地来回奔跑于甲、乙之间，直到甲、乙相遇时，猎狗才停下。如果甲每小时行3千米，乙每小时行2千米，这只猎狗一共跑了多少千米？

【分析】这道题最让人迷惑不解的是甲身边的那条狗。如果把狗跑的路程相加，这样很烦琐且不易计算。根据甲、乙两人相遇经过的时间与狗跑的总时间“不变”，即 50÷(3＋2)＝10(小时)，这样就很巧妙地求出狗一共跑的路程是 6×10＝60(千米)。

例2：山上有群羊，山下有群羊。若山上的羊跑到山下1只，则山上的羊与山下的相等；若山下的羊跑到山上1只，则山上的羊是山下的羊的2倍。山上和山下的羊各有几只？

【分析】山上的羊跑到山下，山下的羊跑到山上，山上的羊和山下的羊数量都在变化，如果从变量的角度去思考，问题愈加复杂，难以答解。仔细分析，羊的总只数“不变”。若山上的羊跑到山下1只，这时山上的羊占总只数的一半；若山下的羊跑到山上1只，这时山上的羊占总只数的三分之二。把羊的总只数看作单位“1”，又未知。山上的羊前后两次差2只，因此羊的总只数是2÷＝12，所以山上的羊有12÷2＋1＝7（只），山下的羊有 12－7＝5（只）。

例3：森林动物运动会开始了，一共有120个动物参加，有狗、马、兔、羊4个代表队，已知狗的数量占其他动物的，马的数量占其他动物的，兔的数量占其他动物的，羊有多少只？

【分析】题中单位“1”都是其他动物，但每一个条件中“其他动物”是不一样的。单位“1”在变，但全部运动员的数量是不变的。如果把全部运动员的数量看作单位“1”，就要先求出每种动物占总数的几分之几。狗的数量占总数的分率是，马、兔的数量占总数的分率分别是。那么羊的数量占总数的分率是，这样羊的只数就迎刃而解：120×＝26（只）。

“不变量”在许多面积公式推导中具有不可替代的作用。如用“割补法”推导平行四边形的面积，用“剪拼法”推导圆的面积等。

（作者单位：河南南召县红阳小学）