美国加州教材立体图形部分的编排特点与启示

◇施银燕

美国加州教材立体图形部分的编排特点与启示

◇施银燕

与我国各个版本小学数学教材相同的是，美国加州教材中立体图形的认识也分两个阶段：第一阶段是感性认识，从整体上把握立体图形的特点；第二阶段则是理性认识，从面、棱、顶点几个要素进行细致的分析，并进一步研究这些立体图形的表面积和体积。但是，深入到具体内容的编排以及同一内容的教学方式上，还是能看到与我国教材的差异。从这些差异的背后，能看到两国数学教学的不同追求。下面对美国加州教材（以McGraw-Hill公司出版的 California Mathematics）第二阶段立体图形的内容、结构、具体教学方式进行分析，以期能对我们的教学有所启发。

一 立体图形的认识：内容呈现系统化、结构化

我国教材中对立体图形的认识（仅指第二学段）分两次进行：五年级认识长方体、正方体；六年级认识圆柱和圆锥。到总复习时才对立体图形进行整体上的梳理和概括。

而美国教材则将所有立体图形的认识安排在一个单元完成。首先定义三维图形，即有长、宽和高这三个维度的图形。随后，介绍三维图形中常用的概念：面、侧面、底面、棱、顶点。（见下图）

许多常见物体的形状是三维的，也就是说，它们有长、宽和深（或高）这三个维度。下面是三维图形里常用的一些术语。

随后，根据图形是否含有曲面，把图形分成了两类：一类是棱柱和棱锥（不含曲面），另一类是圆柱、圆锥和球（含曲面）。

在介绍棱柱特点时，引进了“全等”这一概念。研究棱柱和棱锥特点时，还给出了棱柱和棱锥的命名规则，即以底面形状而得名。如底面是长方形的棱柱，称为“长方柱”；底面是正方形的棱锥，称为“正方锥”。介绍了棱柱和棱锥的一般特点和命名规则后，教材中也会出现一些新的棱锥，如五棱锥、八棱锥等立体图形让学生来辨认。如：

对于下面每个图形，先指出底面的形状，再分类。

无论是哪种立体图形，描述其特征都离不开前面的那些概念：面、侧面、底面、棱、顶点等。

显然，美国教材中涉及的立体图形比我国的要多。曾经有人用“一英里宽一英寸深”来形容美国教材宽而浅的特点。从这部分内容来看，我们明显感受到了“宽”，认识的立体图形更多、更丰富。但是，这个“宽”，在我看来并不导致浅，反而因为“宽”，知识的呈现方式由零散变得有组织，显得更有结构、更清晰（如下表）。结构化的呈现方式会让学习负担更轻，更有利于学生“把书读薄”。

三维图形（有三个维度）柱（有两个全等的底面） 锥（有一个底面）不含曲面含有曲面棱柱（侧面为平行四边形）圆柱（底面为全等的圆，侧面为曲面）棱锥（侧面为三角形）圆锥（底面为圆，侧面为曲面）

因为认识了各种棱柱和棱锥，更便于学生概括出有序计数面、棱、顶点的方法，更容易发现这些数量之间存在的一般规律。例如：底面是n边形的棱柱，面、棱、顶点分别有 n+2、3n、2n 个。学生很容易看出：面数+顶点数-棱数=2。再由这一类图形推广到棱锥，甚至其他更为一般的图形。

二 体积与表面积：内容有增有减，强调基本方法

内容上，体积限于棱柱（包括长方体和三棱柱）和圆柱，棱锥和圆锥则不涉及；表面积限于棱柱、棱锥、圆柱，不涉及圆锥。和我国的教材相比，增加了三棱柱的体积，但减少了圆锥的体积；增加了三棱柱、棱锥的表面积。

从教材图中我们可以发现，增加三棱柱体积后，从长方体到三棱柱，再到圆柱，强调的是体积概念的共性、柱体求体积方法的共性，即始终强调：体积就是物体包含的单位立方体的个数；对柱体而言，底面积对应着一层摆放单位立方体的个数，高对应摆放的层数。（如下图）

三棱柱的底面为三角形，下图表明，三棱柱的体积也是底面积B与高H的乘积。

把一个圆柱形的罐头放在方格纸上，仿照右图，把底面描下来。

1.估计底层摆放的小立方体个数（不是整个的小立方体也要考虑）。

2.如果每层都是1cm高，这个圆柱里能摆多少层。

3.猜想：这个圆柱形罐头的体积是多少？

对比我国的教材：长方体体积公式是用摆单位立方体来探索的；圆柱的体积公式，则是把圆柱沿着底面直径切开转化成长方体得出的；圆锥的体积公式，是通过倒水或倒沙等实验，依据等底等高圆柱和圆锥体积的关系得到的。求三种图形的体积，便是三种方法。

我国的教材里始终强调的是更为上位的 “转化”思想。但即使学生有转化的需求，因为一图一法，如何实现转化还是有相当大的难度的；相比较而言，美国教材强调的更为基本，学生也更容易迁移。

美国教材中没有编排圆锥的体积，这一点同样值得我们思考。在小学阶段，圆锥的体积公式只能依赖猜测、实验、观察得出结论，对学生“为什么”的追问，老师很难解释。现在想来，教材中不编排圆锥的体积计算自有它的好处。只是通过倒水得到的结论，叫作猜测可能更为合适。既然如此，何必作为一个既定结论让学生反复记忆训练呢？如果可能的话，我建议圆锥体积可以作为圆柱体积之后的一节开放性的探索课，但对于结论和结论的应用可不作要求。

教材的一加一减，可以看出其背后不同的价值取向。我们强调应用、解决实际问题（实际生活中有大量需要计算圆锥体积的问题），而美国教材更强调其背后的基本原理。

美国教材中，表面积的内容则分两次进行编排。第一次是结合组合图形面积的教学，进行展开图与表面积的探索，包括三棱柱、三棱锥、四棱锥等的表面积，但并没有总结出计算公式，又一次体现了“广”的特点。第二次，则是在学习了勾股定理之后，有一些数据需要根据勾股定理来求出。在这个阶段，还总结出了长方体和圆柱的表面积计算公式。我认为，结合展开图进行各种立体图形表面积的探索是比较好的，但给出公式似乎没有必要。

三 淡化计算，强化推理

美国教材中包含不少需要推理的问题，如：

【挑战】两张同样的长方形纸，分别沿着长和宽卷成圆柱。哪个圆柱的体积更大？解释你的结论。

【开放式问题】画一个圆柱，要求：底面半径比右面圆柱的更大，而体积却更小，并标上数据。

这些问题不提供数据，答案不唯一，过程方法更为多样，能让不同层次的学生参与探索，强调每个学生用自己的已有知识去讲道理。

与重视推理相对的是，教材对计算有所淡化。几乎所有求圆柱表面积和体积的问题，都不要求算出准确结果，只要求结果保留一位小数；或者改变问题呈现方式，从而通过估计或者推理就能得出结论。如：

求圆柱的体积，结果保留一位小数。

V=πr2h

V=π×（5）2×（8.3）

V≈3.14×（5）2×（8.3）

V≈651.6

哪个选项最接近这个麦片桶的容积（单位：立方英寸）？

A.32 B.42.78 C.75.92 D.86.55

熟悉小学高年级数学的老师都有这样的感受，那就是“圆柱与圆锥”这一单元，学生对相应的概念、公式、方法都已经掌握，却总在计算上出错。新课程改革之后，对整数、小数计算的要求已经降低，但到学习圆柱、圆锥这部分内容时，计算难度并没有降下来。圆柱、圆锥的教学中，如果我们能让学生从计算中解放出来，学生的空间想象能力、推理能力等目标就能更好地得到落实。

（作者单位：北京第二实验小学）