摩擦振动信号的经验模式分解和多重分形研究

李精明， 魏海军， 魏立队， 杨智远， 刘　竑

(1.大连海事大学 轮机工程学院，大连　116026； 2.上海海事大学 商船学院，上海　201306)



摩擦振动信号的经验模式分解和多重分形研究

李精明1,2， 魏海军2， 魏立队2， 杨智远2， 刘竑2

(1.大连海事大学 轮机工程学院，大连116026； 2.上海海事大学 商船学院，上海201306)

摘要：为提取摩擦振动的特征信号和实现摩擦振动特征信号的定量表征，在摩擦磨损试验机上进行了船用柴油机缸套—活塞环摩擦副摩擦磨损模拟试验，应用经验模式分解(Empirical Mode Decomposition,EMD)对非线性、非平稳的摩擦振动信号进行分解，获得若干个本征模式分量(Intrinsic Mode Function,IMF)。根据振幅范围和互相关系数，从EMD的所有IMF中选择反映摩擦振动特征的IMF分量重新合成摩擦振动特征信号，利用改进的多重分形算法对摩擦振动特征信号进行多重分形分析，得到摩擦振动信号的多重分形谱，进一步求取摩擦振动信号多重分形谱的宽度、极大值、维差以及非对称指数。研究结果表明，经验模式分解能够实现微弱摩擦振动特征信号的提取，多重分形谱参数可以作为摩擦振动信号的特征值。

关键词：经验模式分解；多重分形；谱参数；摩擦振动

摩擦振动是机械运动接触副在摩擦磨损过程中产生的现象，蕴含着许多反映摩擦学系统特征和状态的信息[1]。摩擦振动信号是微弱信号，往往堙没于背景噪声之中，未经处理的摩擦振动信号不能真实反映摩擦振动特征[2]。因此，如何从强噪声中提取有用信号，以及根据此有用信号找出摩擦振动信号的特征，是摩擦振动研究的关键问题。经验模式分解(Empirical Mode Decomposition,EMD)是针对非线性、非平稳信号而提出的一种方法[3]，能自适应地把信号按照自身的内在特性正交地分解成一系列本征模式分量(Intrinsic Mode Function,IMF)。该方法得到了广泛应用，成功地应用于信号处理[4]、机械故障诊断[5,6]等的研究。EMD目前在理论上还无法获得较好的解释[7]，但由于分解是基于信号时域局部特征的，特别适合分析非平稳非线性的时变过程，能清晰地分辨出交叠复杂数据的内蕴模式。自Mandelbrot提出分形基本理论以来，分形成为应用极为广泛的学科[8]。近年来，随着多重分形理论研究的深入，人们已成功地将它应用到地质学[9]、生物特征识别[10]、机械故障诊断[11]等领域。有学者将多重分形应用于柴油机磨合的研究[12]，取得了较好的效果。多重分形谱能很好地刻画振动信号的奇异性，但多重分形的计算比较复杂，只有少数比较特殊的集合才有解析解，对一般的集合只能用数值计算的方法间接进行估计[12]，因此要利用多重分形来分析首先要求算法有高精度。许多学者从定量的角度，应用时频谱图[13]和谐波小波[2]提取摩擦振动信号的特征，取得一定的成果。摩擦振动信号具有频率高、振幅小等特点[2]，但时频谱图方法未能从振幅角度滤除干扰信息，谐波小波方法只能选取频段来重构特征信号，不能选取振幅范围来重构特征信号。

本文针对船用柴油机缸套—活塞环摩擦副摩擦磨损试验过程中获得的摩擦振动信号进行EMD分解，获得若干个IMF分量，从IMF分量中选择反映低振幅摩擦振动的IMF分量重新合成摩擦振动信号，并对此信号再次进行EMD分解，利用互相关系数准则进行筛选，选择若干个IMF分量合成摩擦振动特征信号。将多重分形理论引入到摩擦振动信号的特征提取，应用改进的多重分形算法对摩擦振动特征信号进行多重分形分析，得到摩擦振动信号的多重分形谱，进一步求取摩擦振动信号多重分形谱的宽度、极大值、维差以及非对称指数，实现特征参数对摩擦副摩擦磨损状态的定量表征，为基于摩擦振动信号的机械摩擦副摩擦磨损行为的研究提供了新的途径。

1实验部分

1.1试验方法与材料

试验的设备采用济南试验机械厂生产的MMW-1型立式万能摩擦磨损试验机，图1示出了该试验机的原理。销试样通过专用夹具安装于主轴的下端部，盘试样安装在托盘内并通过托盘下的施力系统对试样加载，主轴电机在直流电机的驱动下带动销试样做回转运动。系统采用PCB PIEZOTRONICS公司生产38630型ICP加速度传感器测量摩擦振动信号，其水平固定在托盘下方，灵敏度为103.4mV/g，量程为50g。销试样和盘试样用线切割方法从6S50MC船用柴油机的活塞环和缸套上截取。为满足实验需要，销试样和盘试样制备了两套。销试样尺寸φ3 mm×20 mm，材质为合金铸铁，主要成分为铁、碳、硅、钼、磷等，组织结构为石墨、索氏体、珠光体基体和少量磷化物，硬度HV600～720，表面粗糙度Ra为3.7 μm；盘试样尺寸φ30 mm×10 mm，材质为合金铸铁，主要成分为铁、碳、硅、锰、磷等，组织结构为石墨、索氏体、珠光体基体，硬度HV300～420，表面粗糙度Ra为1.1 μm。

为提取不同摩擦磨损状态下柴油机缸套—活塞环摩擦副的摩擦振动信号，根据船用大型柴油机的主要性能指标：气缸最大爆压14～15.5 MPa，活塞运行速度3～5 m/s，设计模拟实验施加的试验力、运行速度和润滑状态。两组摩擦磨损试验：试验Ⅰ施加的试验力为30 N，运行时间为120 min；试验Ⅱ施加的试验力为50 N，运行时间为600 min；两组试验销试样转速均为600 r/min，旋转半径均为0.05 m，两组试验均采用浸油润滑，润滑油选用壳牌CAPRINUS XR40船用润滑油。

图1　MMW-1型摩擦磨损试验机原理图Fig.1 Schematic diagram of MMW-1 tester

1.2摩擦振动信号的采集

摩擦磨损试验的摩擦振动信号采用比利时LMS公司生产的SCADAS型前端数据采集系统采集，采样频率51 200Hz，对两组试验全程进行数据采集，所采集的数据每0.16s自动生成一个文本文件，存入计算机。

图2　两组试验条件下摩擦振动信号时域波形Fig.2 Time domain waveform of frictional vibration signal under two groups of test conditions

图2为两组摩擦磨损试验在初期、末期采集的摩擦振动信号时域波形，即对于试验Ⅰ的数据，在第1 min、120 min各选取一个0.16 s的数据；对于试验Ⅱ的数据，在第1 min、600 min各选取一个0.16 s的数据。从图2可以看出，所获得的摩擦振动信号是非线性、非平稳信号，信号波动复杂，呈现周期变化，微弱的摩擦振动信号堙没于周期变化的信号之中，如果利用此信号来分析，则无法提取正确的摩擦振动特征。

2摩擦振动信号EMD方法

EMD是一种适用于非线性、非平稳信号的分析方法，该方法可将任意信号分解为若干个IMF和一个余项之和。分解得到的IMF是满足如下两个基本条件的函数或信号：①在整个数据序列中，极值点的数量(包括极大值点和极小值点)与过零点的数量相等，或最多相差一个；②在任意时刻，由局部极大值形成的上包络线和局部极小值形成的下包络线的平均值为零，即上、下包络线相对于时间轴局部对称。

EMD方法将一个复杂的信号分解为若干个IMF之和，它基于如下基本的假设：①任何复杂的信号都是由一些不同的本征模式分量组成；②每一本征模式分量可以是线性的，也可以是非线性的，满足本征模式分量的两个基本条件；③任何时候，一个信号都可以包含多个本征模式分量，如果本征模式分量相互重叠，便形成复合信号。在此假设的基础上，可以采用EMD方法对信号进行分解，EMD的分解过程也称为“筛选”过程，具体步骤如下：

(1)假设信号为x(t)(t为采样时间)，首先找出x(t)中的所有局部极大值以及局部极小值，利用三次样条，将局部极大值点连接起来形成上包络线，将局部极小值点连接起来形成下包络线。

(2)求出上下包络线的平均值，得到均值包络线m1(t)，将原始信号x(t)与均值包络线相减，得到第一个分量h1(t)，即有：

h1(t)=x(t)-m1(t)

(1)

(3)考察h1(t)是否满足IMF的两个条件，如果满足条件，则h1(t)就是x(t)的第一个IMF分量。对于非线性、非平稳信号而言，一般一次处理不足以使h1(t)满足IMF的两个条件，则把h1(t)看做待处理数据，重复步骤(1)~(2)，假设当重复了k次，得到：

hk(t)=hk-1(t)-mk(t)

(2)

满足了IMF的两个条件，则获得了第一个IMF，记为：c1=hk(t)。

(4)将第一个IMF从信号x(t)中分离出来，得到剩余信号：

r1(t)=x(t)-c1(t)

(3)

(5)把r1(t)作为待分解信号，重复步骤(1)~(4)，依次分解得到r2(t)、r3(t)、…，直至剩余信号rn(t)成为一个单调函数不能再从中提取满足IMF条件的分量时，循环结束。这样，信号x(t)被分解为n个IMF分量ci(t)(t=1,2，…，n)与一个余项rn(t)之和，即：

(4)

式(4)表明信号的EMD分解具有完备性，这是由分解过程本身决定的。

图3　试验Ⅰ初期摩擦振动信号的EMD分解结果Fig.3 EMD decomposition results of frictional vibration signal at the beginning of the testⅠ

图3是对摩擦磨损试验Ⅰ初期的摩擦振动信号进行EMD分解得到的8个IMF分量c1~c8和一个残差r8，限于篇幅，摩擦磨损试验Ⅰ末期，试验Ⅱ初期、末期的摩擦振动信号EMD分解结果图从略。从图3可以看出，高频率和小振幅集中出现在前几个分量中，EMD方法适合用来提取摩擦振动特征信号，得到的各个IMF分量包含了不同的时间尺度，可使摩擦振动信号的特征在不同的分辨率下显现出来，而且这种分辨率是自适应的[14]。同时，EMD方法也是一种主成分提取方法，分解结果中前几个IMF分量包含了原始信号的主要信息。摩擦振动的信息主要包含在振幅较小分量中，IMF分量c1、c2、c3、c7的振幅较小，故从摩擦振动信号EMD分解结果中选取c1、c2、c3、c7这四个IMF分量重新合成试验Ⅰ初期摩擦振动信号。试验Ⅰ末期，试验Ⅱ初期、末期的摩擦振动信号也按此方法合成摩擦振动信号，为获得去噪的摩擦振动特征信号，对合成的摩擦振动信号，再一次进行EMD分解，计算各IMF分量与分解前信号的互相关系数。

表1为两组试验IMF分量与信号的互相关系数。从表1可知，前5阶的IMF分量与信号的互相关系数远大于其余高阶IMF分量的互相关系数，即前者与信号的相关性较大，因此选择前5阶的IMF分量作为主IMF分量，将其合成得到摩擦振动特征信号。图4为两组试验IMF分量合成的摩擦振动特征信号，可以看出IMF分量合成的信号幅值显著减小，周期波动变化消失，摩擦振动的冲击信息清晰出现。

表1　两组试验IMF分量与信号的互相关系数

图4　两组试验IMF分量合成的摩擦振动特征信号Fig.4 The recombined frictional vibration characteristic signals of IMF

3摩擦振动信号多重分形分析

3．1多重分形理论及算法

计算多重分形谱的方法一般有盒计数法、柱状图法、结构函数法和小波极大模法等。本文采用盒计数法，在文献[12]中多重分形算法的基础上，对算法进行了改进，实现多重分形的数值计算。

将摩擦振动信号时间序列沿时间轴划分为许多尺寸为ε(ε<1)的一维小盒子，Si(ε)为盒子尺寸在ε时第i个小盒子内所有摩擦振动信号的幅值之和，全部摩擦振动信号幅值之和为∑Si(ε)，则概率测度为：

(5)

在无标度区域内，概率测度pi(ε)所组成的集可划分为一系列子集，即按pi(ε)的大小划分为满足下面的幂函数子集：

pi(ε)=εα

(6)

式中，指数α称为奇异指数，反映了分形体上各个尺寸ε下，物理量分布概率随ε变化的各个子集的性质，α愈大，子集的概率愈大。

若具有α相同的盒子数为N(pi(ε))，N(pi(ε))在无标度区域内与ε也存在着标度关系，则：

N(pi(ε))=ε-f(α)

(7)

式中，f(α)表示相同α值的子集的分形维数。由于α∈[αmin,αmax]，故f(α)通常为光滑的单峰函数，称为多重分形谱。

(8)

式中,n(t)是在t精度下所有小盒子的个数，q为权重因子，当q>1时，pi(ε)的较大值对χt(q)的贡献占优势；当q<1时，pi(ε)的较小值对χt(q)的贡献占优势。Renyi信息维就是这个量当t趋于无穷大时的极限，即定义为：

(9)

在给定精度t下，根据χ(q)的定义，在这些盒子中，有很多盒子具有相同的概率测度，即对于每个pi(ε)都有N(pi(ε))个小盒子，则上式中的和式可以写为：

(10)

将式(6)和式(7)代入式(10)，可得：

(11)

当t趋于无穷大的时候，和式中的ε≪1，于是最小的那一项α会起到最主要的贡献，故可得如下的近似式：

(12)

则求和相应地转变成使得等式qα-f(α)最小的α所对应项的值。将这些结果代入到Renyi信息维的定义，可得：

(13)

函数χ(q)和f(α)构成了一个Legendre变换对。由Legendre变换的性质[15]，可以根据函数χ(q)而反过来求出f(α)，即：

(14)

从而实现通过全局的Renyi信息维计算出多重分形谱。

根据以上算法，在Matlab环境的M文件中编写程序，摩擦振动信号多重分形谱的计算步骤如下：

(1)初始化，计算出数据空间总共能分成多少个盒子；

(3)对不同的q进行循环(预先给q一个预设的取值范围)；在循环体内，对所有边长的盒子(分辨率)循环；在不同的分辨率下，对盒子大小在双对数坐标下做回归，计算出α和f(α)。

(4)输出结果，绘制多重分形谱。

为验证改进的多重分形算法的有效性，按文献[16]的验证方法对算法进行验证。往康托尔集上赋予质量而构造一个质量分布，构造方法是：将区间[0,1]均分为三份，去掉中间的那个小区间，剩下的两个小区间为[0,1/3]和[2/3,1]，给左边的小区间分配质量1/3，右边的小区间分配质量2/3，再按同样的质量比1/3比2/3对每个子区间进行同样的迭代操作，最终得到具有典型多重分形特性的质量分布。图5(a)为康托尔集构造质量分布迭代9次和15次得到的质量分布情况，从图中可以看出，迭代次数越多，越多的康托尔集小区间具有相同的质量；图5(b)为康托尔集质量分布迭代15次多重分形理论值和用多重分形改进算法计算结果，计算值与理论值十分接近，表明了改进算法的有效性。

图5　康托尔集质量分布验证算法有效性Fig.5 The algorithm validity vertified by the mass distribution of Cantor set

3．2摩擦振动信号的多重分形分析

图6　两组试验摩擦振动特征信号多重分形谱Fig.6 Multifractal spectrum of frictional vibration characteristic signals

试验ΔαΔffmaxIAsⅠ初期1.1742-0.30320.9253-0.4956Ⅰ末期1.2688-0.18700.9370-0.5627Ⅱ初期1.2608-0.12690.9148-0.3378Ⅱ末期1.4568-0.12230.9629-0.3080

从表2可以看出，两组试验条件下多重分形谱参数宽度Δα、维差Δf、极大值fmax随摩擦磨损时间的增加呈增大趋势。由多重分形谱参数的意义可知，摩擦振动信号的波动程度及摩擦振动剧烈程度呈现上升趋势。试验Ⅰ与试验Ⅱ相比，试验Ⅰ的运行时间相对较短，多重分形谱参数略有上升，上升幅度较小，试验Ⅱ的运行时间相对较长，多重分形谱参数上升幅度较大。两组试验条件下，多重分形谱前三个参数有相似的变化规律。多重分形谱IAs表征摩擦振动信号振幅分布和数量的均匀性，表明随试验时间的增长，摩擦振动信号振幅分布和数量的均匀性由不均匀向均匀变化的趋势。

上述分析表明，多重分形谱参数能定量地体现摩擦振动信号的特征，反映摩擦副所处的摩擦振动状态。

4结论

(1)应用经验模式分解对非线性、非平稳的摩擦振动信号进行分解，适当选择本征模式分量，可以获得反映摩擦振动特征的特征信号。

(2)利用Renyi信息维和Legendre变换能实现多重分形的数值计算。针对摩擦振动信号的特点，提出了应用多重分形谱参数提取摩擦振动信号特征的方法。

(3)多重分形谱参数能够反映摩擦振动的状态，定量地表征摩擦振动信号的特征，反映摩擦副所处的摩擦振动状态。

参 考 文 献

[1] 葛世荣，朱华. 摩擦学复杂系统及其问题的量化研究方法[J]. 摩擦学学报，2002, 22(5):405-408.

GE Shi-rong,ZHU Hua.Complicate tribological system and quantitative study methods of their problems[J]. Tribology, 2002,22(5):405-408.

[2] 李国宾，任宗英，王宏志，等.摩擦振动信号谐波小波包特征提取[J]. 摩擦学学报，2011, 31(5):452-456.

LI Guo-bin,REN Zong-ying,WANG Hong-zhi,et al. Characteristics extraction of friction vibration singal using harmonic wavelet packet transforms [J].Tribology, 2011, 31(5):452-456.

[3] Huang N E,Shen Z,Long S R, et al. The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis [J]. Proceeding of the Royal Society:A Mathematical Physical & Engineering Sciences,1998,454:903-995.

[4] Guo Ke-jian, Zhang Xin-gang, Li Hong-guang, et al. Application of EMD method to friction signal processing[J].Mechanical Systems and Signal Prossing,2008,22(1):248-259.

[5] Li Yu-jun,Tse P W, Yang Xin, et al. EMD-based fault diagnosis for abnormal clearance between contacting components in a diesel engine [J]. Mechanical Systems and Signal Processing,2010,24(1):193-210.

[6] 于德介，程军圣. EMD方法在齿轮故障诊断中的应用[J]. 湖南大学学报，2002, 29(6):48-51.

YU De-jie,CHENG Jun-sheng. Application of empirical mode decomposition method to gear fault diagnosis [J].Journal of Hunan University,2002,29(6):48-51.

[7] 徐晓刚，徐冠雷，王孝通，等. 经验模式分解(EMD)及其应用[J]. 电子学报，2009, 37(7):581-585.

XU Xiao-gang,XU Guan-lei,WANG Xiao-tong, et al.Empirical mode decomposition and its application[J].Acta Electronica Sinica,2012,31(7):45-49.

[8] 熊宇虹，温志渝，张流强，等. 分形理论在光谱识别中的应用[J]. 光谱学与光谱分析，2006,26(4):772-774.

XIONG Yu-hong,WEN Zhi-yu, ZHANG Liu-qiang, et al. Application of fractal theory to spectral signal recognition[J]. Spectroscopy and Spectral Analysis,2006, 26(4): 772-774.

[9] Xie Shu-yun, Cheng Qiu-ming, Ling Qi-cong, et al. Fractal and multifractal analysis of carbonate pore-scale digital images of petroleum reservoirs [J]. Marine and Petroleum Geology. 2010,27(2): 476-485.

[10] 李彤，商朋见. 多重分形在掌纹识别中的应用[J]. 物理学报，2007, 56(8):4393-4400.

LI Tong, SHANG Peng-jian. A multifractal approach to palmprint recognition [J].Acta Physical Sinica, 2007, 56(8):4393-4400.

[11] 苑宇，马孝江. 局域波时频域多重分形在故障诊断中的应用[J]. 振动与冲击，2007, 26(5):60-63.

YUAN Yu,MA Xiao-jiang.Fault diagnosis using multifracals in local ware time-frequency domain [J]. Journal of Vibration and Shock,2007,26(5):60-63.

[12] 李国宾，关德林，王宏志，等. 柴油机磨合状态下振动信号多重分形研究[J]. 内燃机工程，2009, 30(2):15-19.

LI Guo-bin,GUAN De-lin, WANG Hong-zhi, et al. Study on multifractal parameters of vibration signal during running-in of diesel engine[J].Chinese Internal Combustion Engine Engineering,2009,30(2):15-19.

[13] 黄朝明，于洪亮，关德林，等. 摩擦振动时频图像特征提取[J]. 振动与冲击，2012, 31(7):45-49.

HUANG Chao-ming,YU Hong-liang,GUAN De-lin,et al.Feature extraction of frictional vibration based on time-frequency image[J]. Journal of Vibration and Shock,2012,31(7):45-49.

[14] 于德介，陈淼峰，程军圣，等. 基于EMD的奇异值熵在转子系统故障诊断中的应用[J]. 振动与冲击，2006,25(2):24-26.

YU De-jie,CHEN Miao-feng,CHENG Jun-sheng, et al. Fault diagnosis approach for rotor system based on EMD method and singular value entropy[J].Journal of Vibration and Shock, 2006,25(2):24-26.

[15] David Harte. Multifractals: theory and applications [M]. Chapman & Hall/CRC,2001.

[16] 王祖林，周荫清. 多重分形谱及其计算[J]. 北京航空航天大学学报，2000,26(3):256-258.

WANG Zu-lin,ZHOU Yin-qing.Multifractal Spectrum and Calculation[J].Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics, 2000,26(3):256-258.

Empirical mode decomposition and multifractal of frictional vibration signal

LIJing-ming1,2,WEIHai-jun2,WEILi-dui2,YANGZhi-yuan2,LIUHong2

(1. Marine Engineering College, Dalian Maritime University, Dalian 116026, China;2. Merchant Marine College, Shanghai Maritime University, Shanghai 201306, China)

Abstract:For the purpose of extracting and quantitatively characterizing the characteristic signal of frictional vibration, the simulation experiments of friction and wear of a piston ring against a cylinder in marine diesel engine were conducted on a testing machine. The nonlinear and nonstationary frictional vibration signals were decomposed and several intrinsic mode functions (IMFs) were acquired by using the empirical mode decomposition (EMD). According to the range of amplitudes and the crosscorrelation coefficient, the IMFs involving the characteristics of frictional vibration were extracted to resynthesize the characteristic signal of frictional vibration which was then analyzed by utilizing the improved multifractal algorithm to derive the multifractal spectrum as well as its width, peak value, dimensional difference and asymmetric index. It is shown by the results that the weak characteristic signal of frictional vibration can be extracted by EMD and the frictional vibration signal can be characterized by the parameters of the multifractal spectrum.

Key words:empirical mode decomposition; multifractal; spectrum parameter; frictional vibration

中图分类号:TK4

文献标志码：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.03.031

通信作者魏海军 男，博士，教授，博士生导师，1971年7月生

收稿日期：2014-11-10修改稿收到日期：2015-02-16

基金项目：国家高技术研究发展计划(863计划;2013AA040203)

第一作者 李精明 男，博士生，讲师，1981年5月生