基于柔性环轮胎模型的电动轮固有特性分析

左曙光, 毛　钰, 吴旭东, 段向雷

(1.同济大学 新能源汽车工程中心，上海　201804； 2上海汽车集团股份有限公司乘用车公司技术中心，上海　201804)



基于柔性环轮胎模型的电动轮固有特性分析

左曙光1, 毛钰1, 吴旭东1, 段向雷2

(1.同济大学 新能源汽车工程中心，上海201804； 2上海汽车集团股份有限公司乘用车公司技术中心，上海201804)

摘要：为分析分布式驱动电动车用电动轮固有特性，基于轮胎柔性环理论建立了电动轮柔性环轮胎模型，计算了电动轮固有频率及各阶振型，说明了电动轮在车轮横断面内模态特性，并根据电动轮自由模态试验对电动轮柔性环模型进行了参数识别。电动轮固有特性分析表明，电动轮零阶模态为与轮胎环切向变形有关的轮胎周向旋转，一阶模态为轮胎环变形和轮胎运动耦合，而高阶模态只与轮胎环变形有关。驱动电机对电动轮固有特性的影响分析表明，引入驱动电机后轮辋质量参数的变化对高阶模态没有影响，而零阶、一阶频率分别随驱动电机转动惯量、质量增大而逐渐减小，且自由模态频率高于轮心固定的约束模态频率。最后通过电动轮约束模态试验验证了上述结论，为电动轮动力学分析、选型及使用提供参考。

关键词：电动轮;柔性环模型;固有特性;模态分析

电动汽车以其在节能环保方面的优势成为未来汽车的发展方向，而分布式驱动电动车以其特有的结构及性能优势引起了学者的广泛关注。分布式驱动电动车将驱动电机集成在车轮内部，使底盘结构大大简化。但同时驱动电机的引入使得车轮动载荷变大，影响了整车平顺性。Nagaya等[1]将轮毂电机悬置转化为吸振器质量元件，利用分离出来的电机质量进行吸振。Jin等[2]验证了在轮毂电机与车轮之间增加弹簧和阻尼器可以提高电动汽车舒适性，Luo等[3]提出了一种新型内置悬置系统的电动轮拓扑结构方案，通过设置橡胶衬套将电机转化为与簧上质量并联的质量，改善车辆垂向动力学特性。上述研究只考虑了路面对系统平顺性的影响，忽略驱动电机高频转矩激励的作用。于增亮[4]对分布式驱动电动车进行了道路试验，发现加速工况轮毂电机振动是引起车辆总成振动，进而造成车内噪声的振源所在，且振动能量分布在30~280 Hz范围内；左曙光对电动轮-悬架系统进行台架振动试验发现轮毂电机的转矩波动激励会引起系统阶次振动，且在与轮胎固有频率相近的中高频范围内振动较强[5-6]。上述研究表明轮毂电机的转矩波动是电动轮系统的主要激励源，其覆盖频率范围较宽，需要考虑电动轮在中高频率范围内的动态响应特性。

电动轮在中高频范围内的固有特性主要取决于轮胎的模态特性以及引入电机之后的影响。国内外对轮胎模态特性的研究主要集中在通过试验和有限元进行轮胎模态分析获取模态参数以及建立轮胎动态理论模型分析轮胎固有特性等方面。试验模态分析和有限元分析都有一定程度的局限性，试验模态分析需针对不同工况重复进行[7]，繁琐且不能从理论上解释模态特性变化规律；而有限元分析则需建立在准确的有限元轮胎模型基础上，模型的材料参数较难获得且需要较多试验进行模型验证[8-9]。轮胎动态理论模型考虑轮胎胎体柔性建立轮胎动力学模型，从理论角度解释轮胎的固有特性。Vossberg[10]将胎体简化为圆柱薄壳，由胎面-带束层组成壳体建立轮胎动态响应模型，Soedel[11]完善了薄壳模型，采用双曲率薄壳单元研究轮胎自由振动问题，Soedel等[12]考虑了圆环转动、接触及刚度和质量分布不平衡等效应，Gong[13]建立了在弹性基础上的柔性环轮胎模型，分析不同方向轮胎振动传递特性以及转速、载荷、接触对振动特性的影响。Jongsuh等[14]在上述基础上引入了阻尼的影响以分析轮胎的频响特性，并研究了阻尼因子随轮胎转速的变化趋势。Kozhevnikov[15-16]运用柔性胎体获得轮胎模态特征并据此分别分析了轮胎的振动传递与噪声辐射特性，结果表明考虑胎面变形的柔性环模型可以反映轮胎高阶模态特征，对轮胎的高频动力学研究具有适用性。上述模型针对传统轮胎为轮胎动特性研究提供了理论基础，但没有针对轮毂电机的引入使得车轮质量发生变化从而影响轮胎模态频率及振型分布进行研究。左曙光等应用刚性环模型对轮胎进行简化并考虑电机与轮胎连接关系建立了反映电动轮中高频振动的耦合特性模型[17]，但刚性环模型忽略了轮胎胎面的变形，无法反映电动轮高阶模态和高频振动。

为此本文基于柔性环轮胎模型理论假设，建立电动轮柔性环轮胎模型，推导电动轮固有频率和振型方程，计算电动轮各阶模态振型。根据试验模态分析对电动轮柔性环模型主要参数进行了识别，从理论角度计算电动轮轮胎模型的模态特性以及分析驱动电机对电动轮模态特性的影响规律。最后通过约束模态试验对本文结论进行了验证。

1电动轮柔性环轮胎模型固有特性分析

电动轮柔性环轮胎动力学模型子午线轮胎由高强度周向布置的带束和子午线方向布置得胎体构成，作为一种近似可简化为弹性基础的圆环进行分析。可变形圆环梁代表胎冠部分，由分布的径向和切向弹簧表征的弹性基础反映胎侧和充气效应，刚性轮辋和轮胎环之间由弹簧连接，如图1所示。运用这种模型可以分析轮胎的面内动力学特性[15]。

图1中X-O-Z为绝对坐标系，X*-O-Z*为固结于轮辋的旋转坐标系，Ω为轮辋平均转速，θr轮辋波动转速。考虑轮辋平面内三个自由度：X方向位移x*、Z方向位移z*和X-O-Z平面内旋转角θr。用θ表示轮胎环上任一点位置，v,w为表示胎面变形的胎面点切向、径向位移。

图1　柔性环轮胎模型Fig.1 The flexible ring tyre model

根据哈密顿原理可得柔性环轮胎模型的欧拉拉格朗日动力学方程，其中L为拉格朗日函数，W为外力做功。

∫t1t0(δL+δW)dt=0

(1)

引入驱动电机之后，电动轮质量参数(质量m和转动惯量Ir)由两部分组成，分别为电动轮原有轮胎转动惯量Irt以及驱动电机转动惯量Ird、原有轮胎质量mt以及驱动电机质量md，即

(2)

根据式(1)和式(2)，考虑电动轮驱动电机附加质量的电动轮柔性环轮胎动力学模型可表示为

(3a)

(3b)

(3c)

(3d)

式中R表示轮胎平均半径，E为弹性模量，I=bh3/12、A=bh和ρ分别为轮胎环横截面转动惯量、横截面面积和密度，kw、kv为轮辋与轮胎环连接径向、切向刚度，qw、qv分别为轮胎环分布径向力和切向力，fx*为轮胎纵向力，fz*为轮胎垂向力，T为轮胎转矩。

由于子午线轮胎带束伸长频率较高，在一般研究频率范围内通常认为带束不可伸长，即胎面径向变形、切向变形满足关系式：

(4)

联立式(3)和式(4)可得带束不可伸长电动轮柔性环动力学模型。

轮胎柔性环质量、几何参数可由逆向的电动轮、轮毂电机有限元模型测量得到，如表1所示。

表1　电动轮柔性环模型质量几何参数

2电动轮柔性环轮胎模型固有特性分析

电动轮柔性环轮胎模型可用于分析电动轮在外力作用下轮胎的动力学响应，也可分析电动轮的面内固有特性。下面对电动轮动力学模型进行求解，分析电动轮固有特性。式(3)中包含高阶偏微分方程，解析求解较为困难，可通过模态展开法将高阶偏微分方程转化为常微分方程进行数值求解[15]。

取胎面切向变形v为n阶模态叠加形式，如式(5)所示。其中ζn为各阶模态因子，ωn为轮胎各阶模态频率。

(5)

式中an(t)、bn(t)为表示各阶胎面变形的时变模态系数，将式(5)代入式(4)，可将其转化为如式(6)的常微分方程，un为各阶模态坐标，Mn、Gn、Kn分别为模态坐标对应的质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵。

(6)

其中坐标un可表示为：

(7)

由式(7)可知，零阶模态振型与胎面变形和轮胎旋转有关，一阶模态振型与胎面变形和轮胎位移有关，而高阶模态则只与胎面变形有关，与轮胎约束条件无关。

设un=Unejωnt，代入式(6)可得

(8)

式(8)中，动力学方程由系统特征方程和特征向量Un组成，由特征方程可求得轮胎固有频率。将式(5)代入式(2)可得胎面径向变形：

(9)

由式(5)、(9)，轮胎各阶振型中轮胎半径可表示为式(10)所示，其中wn,vn为w,v的n阶分量。

(10)

由式(8)中特征向量Un，结合式(10)可得轮胎在各阶固有频率下的模态振型。由于不同阶模态坐标不同，下面分三种情况对电动轮面内固有特性进行讨论。

1)n=0 零阶模态

根据式(5)和(9)，零阶模态的v0(θ,t)=a0(t)，w0(θ,t)=0，即胎面只有切向变形，没有径向变形。根据式(8)还可得角位移与胎面变形坐标比Fθa，如式(11)所示。

(11)

图2　零阶计算振型Fig.2 The 0th mode shape of the ring model

结合式(10)可计算零阶模态振型，如图2所示，图中外圈表示胎面轮胎环，内圈表示电动轮轮辋部分，可以发现内外圈均无径向偏移，即电动轮零阶模态为与轮胎环切向变形有关的轮胎周向旋转，此阶模态对轮胎纵向振动影响较大。

2)n=1 一阶模态

设式(8)中矩阵元素为aij(i,j=1~4)，则各坐标比Dn、Fzn、Fxn为：

(12)

(13)

(14)

式(12)表示了胎面变形，式(13)、(14)表示电动轮位移，由此可计算不同相位下的轮胎一阶模态振型，如图3所示。图中内圈沿垂向负方向偏移， 而外圈随时间变化产生不同相位的径向偏移，说明轮胎一阶振型为胎面径向和轮胎垂向运动的耦合模态，该阶模态对轮心垂向振动有较大影响。

图3　不同相位下的一阶计算振型Fig.3 The 1st mode shape of the ring model under different phases

3)n>1高阶模态

由式(8)可求得高阶模态频率计算公式[15]：

坐标比Dn为：

(16)

由此可计算二阶以上高阶模态振型，如图4所示。可以看出二阶以上高阶振型为n边形的轴对称型，且胎面变形与轮胎运动解耦，说明相对于传统轮胎，电动轮引入驱动电机后轮胎状态变化对胎面高阶模态没有影响。

图4　二阶以上计算振型Fig.4 The high order mode shapes of the ring model

3电动轮参数识别及固有特性影响因素分析

3.1电动轮柔性环模型参数识别

由式(15)可知，轮胎高阶模态频率只与轮胎胎体参数有关，因此可通过试验模态测量对电动轮胎体参数进行识别。式中的未知胎体参数有：胎面弯曲刚度EI，径向刚度kw，切向刚度kv以及胎面轮胎环线密度ρA。其余轮胎几何参数均由轮胎几何模型测量得到。

图5　电动轮自由模态试验Fig.5 Free modal test of the electrical wheel

本文进行的电动轮自由模态试验如图5所示，电动轮于制动盘处由橡皮绳垂直悬吊并保证轮胎水平放置以便于径向激励从而准确获得面内模态特性，橡皮绳足够软(小于最小模态刚度的10%)使轮胎接近自由状态。由电磁激振器同时对径向、轴向进行两点激励，并使两激振器分别位于轮胎两端激振避免振动能量集中从而遗漏重要模态的现象。在轮胎中心平面及其左右共布置7圈，周向每圈布置12个PCB加速度传感器，各测量3个方向加速度响应。轮胎参数及试验设置如表2所示。由于没有周向激励，模态试验没有采集零阶旋转模态频率。试验通过LMS Test.lab的PolyMAX模块识别模态参数，并通过Modal Synthesis和Modal Validation模块对识别的频响函数、模态频率进行验证，以确认试验分析结果可靠。

表2 电动轮模态试验设置

式(15)可改写为包含4个未知参数的线性方程组，可由试验获得的四组模态频率求解此方程。在试验测得的2~6阶的径向模态频率中任选4阶即可求解上述方程组，剩余1阶用于计算频率与试验频率进行误差检验，取误差最小的一组作为最终拟合数据。参数识别结果见表2。

表3　电动轮柔性环模型参数识别结果

根据识别得到的胎体参数，计算柔性环轮胎模型各阶径向频率，如表3。以高阶(2~6阶)模态频率识别轮胎胎体参数，其计算所得的一阶频率与试验频率误差最大为7.2%。另外图6为试验所得轮胎前几阶模态振型图，胎体变形呈现近似多边形特征，与柔性环计算所得振型(图4)相似，表明柔性环轮胎模型可以准确的反映电动轮胎体的面内固有特性。

表4　电动轮自由模态试验频率与计算频率对比(Hz)

图6　轮胎试验模态振型图Fig.6 The experimental mode shapes of the tire

3.2驱动电机对电动轮固有特性影响分析

由上述分析可知，轮胎二阶以上高阶模态中，轮胎环变形与轮胎运动解耦，轮辋状态变化对轮胎环没有影响；而零阶和一阶模态中轮胎和轮胎环发生转动和平移，轮辋状态变化会影响轮胎模态分布。由于轮毂电机驱动电动轮将驱动电机集成在车轮内部，显著增大了轮胎质量和转动惯量，会引起轮胎零阶和一阶频率的变化。

下面分析驱动电机质量参数对电动轮零阶和一阶模态频率的影响规律，如图7、8所示。可以看出，电动轮零阶频率、一阶频率受驱动电机质量参数影响较大，零阶、一阶频率分别随驱动电机转动惯量、质量增大而逐渐减小，当驱动电机质量参数足够大时，电动轮零阶、一阶自由模态频率逐渐趋近于稳定值，分别为66.58 Hz、103.2 Hz。另外当驱动电机采用试验用电动轮参数时，电动轮零阶、一阶自由模态频率分别为73.62 Hz、109.5 Hz。

图7　零阶频率随驱动电机转动惯量变化规律Fig.7 Changes of the 0th frequency with the moment of inertia of the driving motor

图8　一阶频率随驱动电机质量变化规律Fig.8 Changes of the 1st frequency with the mass of the driving motor

由于电动轮轮辋质量、转动惯量足够大时，轮辋的固有频率接近于零，此时电动轮趋近于轮心固定的约束状态，由此可知电动轮零阶、一阶的自由模态频率应高于轮心固定约束的模态频率。

2.3电动轮固有特性影响因素试验验证

本文另外进行了电动轮固定的约束模态试验(如图9所示)以反映轮毂电机质量、转动惯量足够大时电动轮的固有特性，从而验证电动轮模态频率随电机质量参数变化规律，试验测量方法与图5所示的自由模态一致。由于试验没有测得旋转模态的固有频率，下面以各阶径向模态频率进行说明。图10为试验测得的约束模态频率与自由模态频率对比，可以发现轮胎固定约束的一阶模态频率低于自由模态的一阶频率，而其他高阶频率与自由模态一致。说明电动轮约束状态对二阶以上的高阶模态没有影响，而只影响一阶模态，约束模态频率低于自由模态频率，与上述分析结果一致。

图9　电动轮固定约束模态试验Fig.9 Constraint modal test of the electrical wheel with the driving motor fixed

图10　电动轮径向自由模态约束模态频率对比Fig.10 Comparison between frequencies of free modal and constraint modal

将试验测得的不同约束状态一阶模态频率与计算值整理到表4中，可以发现电动轮轮胎模型计算的模态频率从量级以及趋势上都能反映自由模态一阶频率大于约束模态频率的试验现象，且计算频率与试验频率最大误差在7%以内。

由此说明，通过电动轮自由模态与约束模态试验验证了电动轮轮胎固有特性以及驱动电机质量参数的影响。表明电动轮柔性环轮胎模型能够准确描述电动轮模态特征，并成功解释驱动电机质量参数对电动轮模态特性的影响规律，为分布式驱动电动车电动轮-悬架系统动力学分析优化奠定基础，并为电动轮选型以及使用提供参考。

表4　电动轮一阶频率的试验与计算对比(Hz)

4结论

为研究电动轮固有特性，本文基于柔性环轮胎模型计算了电动轮轮胎模型的模态特性，分析了驱动电机对电动轮模态频率的影响规律。主要有以下结论：

(1)基于电动轮柔性环模型推导的电动轮固有频率和振型方程，计算了电动轮各阶模态振型。分析得到了电动轮各阶模态的分布规律：零阶模态为与轮胎环切向变形有关的轮胎周向旋转，一阶模态为轮胎环变形和轮胎运动耦合，而高阶模态只与轮胎环变形有关，也说明引入驱动电机后轮辋质量参数的变化对高阶模态没有影响；

(2)由驱动电机质量参数对电动轮零阶、一阶固有特性的影响分析表明，驱动电机质量参数对电动轮零阶、一阶模态有较大影响，零阶、一阶频率分别随驱动电机转动惯量、质量增大而逐渐减小，电动轮零阶、一阶的自由模态频率高于轮心固定的约束模态频率。

(3)通过电动轮固有特性影响因素试验分析验证了驱动电机质量参数的影响，表明电动轮柔性环轮胎模型能够准确描述电动轮模态特征，并成功解释驱动电机质量参数对电动轮模态特性的影响规律，为分布式驱动电动车电动轮-悬架系统动力学分析优化奠定基础，并为电动轮选型以及使用提供参考。

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Inherent characteristic analysis of the electrical wheel based on a flexible ring model

ZUOShu-guang1,MAOYu1,WUXu-dong1,DUANXiang-lei2

(1. Clean Energy Automotive Engineering Center, Tongji University, Shanghai 201804, China;2. Technical Center of SAIC Motor Passenger Vehicle Co, Shanghai 201804, China)

Abstract:To analyze the inherent characteristics of an electrical wheel applied in distributively driven electric vehicles, a flexible ring tire model was established to derive the equations of natural frequencies and modal shapes. The in-plane modal characteristics of the electrical wheel were explained theoretically. And the parameters of the tire model were identified according to the free modal test of the electrical wheel. The analysis of the inherent characteristics shows the modal distribution. The 0thorder mode is concerned with the circumferential rotation of tire resulted from the tangential deformation of the tire ring. The 1stmode shows that the deformation of the tire ring and the movement of the tire are coupled with each other. And the other higher mode are only related to the deformation of the tire ring, which indicates that the mass of the driving motor has no influence on the higher modes of tire. It is presented by the analysis of influencing factors that the frequencies of the 0thand 1storder modes reduce gradually with the increase of the moment of inertia and mass of the driving motor separately. The free modal frequency is higher than the constraint modal frequency of the tire with its centre fixed. The conclusions above were verified by the modal test of the electrical wheel. The conclusions presented provide references to the dynamic analysis, selection and using of the electrical wheel.

Key words:electrical wheel; flexible ring tire model; inherent characteristic analysis; modal analysis

中图分类号:U463.341

文献标志码：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.03.007

通信作者吴旭东 男，博士，助理教授，1983年生

收稿日期：2014-11-21修改稿收到日期：2015-01-30

基金项目：国家自然科学基金资助项目(51375343)；重大科研仪器设备专项(2012YQ150256)

第一作者 左曙光 男，博士，教授，博士生导师，1968年生

邮箱:wuxudong@tongji.edu.cn