通俗简单地解释数理统计的思想方法

李景和

[摘要]针对学生学习数理统计的实际情况，结合生活实例和学生的困惑，通俗简单地解释样本和样本值，解释矩估计和假设检验的思想方法，使学生更容易掌握数理统计的教学内容，从而收到良好的课堂教学效果。

[关键词] 通俗简单；生活实例；思想方法；样本；矩估计；假设检验

[中图分类号]G642[文献标识码]A[文章编号]10054634（2016）01008503

概率论与数理统计是一门重要的公共基础课，其中数理统计占课程总学时的三分之一。教学实践表明，真正使学生掌握数理统计的内容并非易事，不少看似简单的问题其实学生并没有真正理解和掌握，特别是在独立学院的教学中表现得更加明显。从每次期末概率论与数理统计的试卷中可以看到，一些学生放弃了数理统计的学习，试卷中和数理统计相关的题目一概不做。笔者在多年与学生的交流中感到学生除了认为该部分内容公式多，记不住外，还认为内容抽象，不好理解。如何使教学内容更通俗易懂，让基础较差的学生理解内容的思想方法，一直是笔者思考的问题。事实上，数理统计的应用性极强，生活中的许多做法和想法都与课程中的思想方法具有一致性，一些生活中常见的简单的东西上升为课本中的定义和定理，变得神秘和抽象，使部分学生不好理解，望而生畏。为提高数理统计的教学效果，应尽可能使其思想方法通俗化和简单化，即通俗简单地解释思想方法，语言应尽可能直观和形象，注意结合学生可能会产生的问题和困惑，特别发挥生活中的实例的作用，通过一些耳熟能详的实例拉近书本知识和实际生活的距离，尽可能避免抽象的理论给学生带来的神秘感。本文结合学生经常提出的问题，特别考虑到基础较差学生的实际情况，以抽取样本、矩估计和假设检验为例，对其思想方法进行通俗简单的解释。

1通俗简单地解释样本和样本值

“（X1，X2，…，Xn）是取自总体X的一个样本”，这是数理统计中几乎所有定义、定理和结论以及习题的第一句话，否则就是被省略和默认了。因为数理统计所做的一切结论最后都是根据样本，即根据样本对总体的未知情况进行推理、判断和猜测。比如，在实际生活中，为了确定要购买某种产品时，人们常常要“取些样子看看”、“用一些试试”、“尝一尝”等等。从总体中抽取个体，观测X的取值，对X的第i次观测的结果是随机变量Xi[1]，经常有的同学问：第i次观测的结果应是具体的数，为何是随机变量？事实上，观测后得到具体的数xi是Xi的一个观察值，由于抽样的随机性，在未得到xi之前第i次观测的结果是不确定的，因此第i次观测的结果当然是随机变量，这里应分清Xi与其一个观察值xi的区别和联系。注意到为了使样本更好的反映出总体X的状况，抽取个体一定是随机的，每个个体被抽到的可能性是一样的而且抽取是相互独立互不影响的，因此每个Xi与总体X一定服从相同的分布且Xi（i=1，2，…，n）相互独立。

例1X是全校全体同学的身高，现准备从全校全体同学中随机抽取3人量其身高，这相当于从总体X中抽取容量为3的一个样本（X1，X2，X3），由于全校同学的数量很大，因此可认为抽到3人的方式是有放回的。量完3人身高后得到一组具体的数据（x1，x2，x3）是样本（X1，X2，X3）的一个样本值，假如过后又随机抽取3人量其身高得到另外一组具体的数据（y1，y2，y3），是样本（X1，X2，X3）的又一个样本值，注意yi与xi（i=1，2，3）可能相等也可能不相等，它们分别是随机变量Xi的两个观察值，注意到这一点有助于理解Xi为什么是随机变量。

向学生解释好样本的定义是非常重要的，因为样本的概念是数理统计首个重要的概念，正确理解这一概念是理解数理统计一切问题的基础，否则学生将失去学习的信心，很难理解后面的抽样分布和抽样分布定理，参数估计和假设检验等一系列问题。

2通俗简单地解释矩估计的思想方法

矩估计的思想方法是用样本矩估计总体相应的矩，通过解方程将未知参数用样本的函数表出，便是未知参数的矩估计量。其理论根据是样本矩依概率收敛于总体相应的矩，即随着样本容量n的增大，样本矩与总体相应矩无差异的可能性越来越大，有差异的可能性越来越小。当总体X的分布中有一个未知参数时，一般是用样本一阶原点矩估计总体一阶原点矩，即用样本均值估计X的数学期望E（X）。事实上，用估计E（X）是生活中经常用到的，比如测量一个物体的长度时，由于测量误差永远不会得到物体长度真正的精确数值，多次测量得到物体长度可能会互有小的差别，这样测量到的物体的长度是随机变量X。设第i次测量的结果是随机变量Xi，若测量n次，则相当于从总体X中抽取样本（X1，X2，…，Xn），求物体的长度就是求E（X）。在实际操作时为了使结果更加精确，一般会多次测量后取平均值作为物体的长度，这个平均值就是的观察值，这里是用作为E（X）的估计值。显然，测量次数越多，与E（X）没有差异的可能性就越小。

例2总体X的分布密度是f（x）=θxθ-1，0x1；

0，其他.求θ的矩估计量。

首先求E（X），有E（X）=∫10xθxθ-1dx=∫10θxθdx=θθ+1，然后令θ^θ^+1=X，得θ的矩估计量θ^=X1-X。

问题一：令θ^+1=X，好像就是令E（X）=X，那么X与E（X）是同一个概念吗？回答是否定的，必须分清X与E（X）。X是样本的均值，是对X的n次观测后得到的n个结果X1，X2，…，Xn的平均值，而E（X）是总体X的均值，亦即X的数学期望，二者是两个不同的概念，但它们之间有依概率收敛的关系。令θ^θ^+1=X是用X估计E（X），并不是说成立E（X）=X，所以“令E（X）=X”的说法是不严格的。

问题二：令θ^θ^+1=X中，为何θ要带上“^”，不带“^”，行否？这里E（X）=θθ+1没任何问题，但使θ^θ^+1=X成立的θ^不是真正的θ，真正的θ未知，所以要估计它，而使该式成立的“θ”是θ的估计量θ^，因此不带“^”，是不严谨的。

上述“问题一”和“问题二”是在数理统计教学中碰到的学生常问的两个问题，讲清楚这两个问题可以有针对性地解决学生的困惑，促使学生理解和掌握矩估计的思想方法。

3通俗简单地解释假设检验的思想方法

假设检验的推理思想就是数学上反证法的思想，在推断时应用了实际推断原理，即“认为小概率事件在一次试验中不会发生”。实际推断原理是在日常生活中广泛应用的，像“火车、飞机和轮船事故”、“买彩票中大奖”等等均是小概率事件，而在乘坐火车、飞机和轮船时，一般不会顾虑是否会发生事故。买彩票后，对未中大奖会有一个理智的心态，也就是已经认为这些小概率事件不会发生。

假设检验的推理过程也是生活中常见的，比如超市在销售某种食品时，可以“先尝后买”[2]。 销售者宣称该种食物的口感非常好，若销售者说的是正确的，则从该种食物中任挑一个品尝，口感好的概率应很大，口感不好的概率应很小。在决定是否购买时，先品尝一下，若感到口感不好，相当于在假定口感好的情况下，发生了小概率事件，与实际推断原理矛盾，从而拒绝口感好的假定，认为销售者的宣称不对。显然多次品尝均感觉口感不好应是概率更小的事件，相当于显著性水平α更小，因此若多次品尝均感觉口感不好，则认为销售者的宣称不对应更加坚决。由此可以看出“先尝后买”的方法与假设检验的思想是完全一致。

在假设检验中，拒绝域的确立和在日常生活中的推理也是完全一致的。

例3设某校同学的身高X～N（μ，σ2），其中σ2已知，该校一名同学称“该校全体学生身高的平均值是1.68 m左右”。想大致验证这名同学说法的一个显然的办法是从全校学生中随机抽取若干个人，量其身高并算得平均值。若比1.68大的很多或比1.68小的很多，当然会否定这名同学的说法，否则就没法从这一办法的结果中找到这名同学说法的毛病，而不得不认可这名同学的说法。事实上，在承认这名同学的说法正确的前提下，随机抽取若干个人的身高的平均值比1.68大的很多或小的很多都是小概率事件。上述简单的推理过程正是教学中一个正态总体均值的假设检验，设显著性水平为α，考虑到σ2已知，应用检验统计量U=X-1.68σ/n且将其观察值记为u，在假定身高的平均值是1.68的情况下，推出拒绝域为|u|u1-α2，这个拒绝域实际上为|-1.68|u1-α2σn，即比1.68过大就是1.68+u1-α2σn，而比1.68过小就是1.68-u1-α2σn。根据样本值，当比1.68过大或过小时，拒绝“全体学生身高的平均值是1.68 m”这样的说法。

类似地可解释单侧检验的方法，比如该校一名同学又称“该校全体学生身高的平均值至少为1.68 m”。显然比1.68越大，人们就越相信该同学的说法；相反比1.68越小，人们就越怀疑该同学的说法。当比1.68小的很多时，人们当然会拒绝这名同学的说法。仍然设显著性水平为α且σ2已知，教学中在假定身高的平均值至少为1.68 m的情况下，推出拒绝域为u-u1-α。由u=-1.68σ/n知，u-u1-α实际上为1.68-u1-ασn，如若这样，则人们认为比1.68过小了，发生了小概率事件，拒绝接受“全体学生身高的平均值至少为1.68 m”的说法。

教学中，还可结合生活实例和学生的问题对最大似然估计，区间估计等内容的思想方法进行通俗而简单的解释。教学的实践表明对数理统计的思想方法进行通俗、简单而直观的解释是提高教学效果的好办法，这使思想方法显得更加简单、通俗易懂、贴近实际，激发了学生的学习兴趣，特别是对基础较差学生更具有很大的帮助作用，使他们感到所学的内容并非高不可攀，从而增强学好数理统计课的信心。

参考文献

[1] 金大永，徐勇.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2011：139140.

[2] 尹江丽.数理统计课程教学方法探讨[J].数学教学研究，2013，32（1）：6566.

Explaining thinking method of mathematical statistics popularly and simply

LI Jinghe

（School of Science，Hebei University of Technology，Tianjin300401，China）

Abstract For the actual situation of the student studying mathematical statistics，combining with examples in life and student′s confusion，the paper explains sample and sample value，the thinking method of estimation by the method of moments and hypothesis testing popularly and simply.In this way，students master the teaching content of mathematical statistics more easily and better classroom teaching effect can be obtained.

Key words popularly and simply； examples in life； thinking method； sample； estimation by the method of moments； hypothesis testing