2015年国际数学奥林匹克不等式问题及解答集粹



2015年国际数学奥林匹克不等式问题及解答集粹

南昌大学附属中学(330047)王文江

笔者从2015年世界各国数学奥林匹克近百道不等式题中精心挑选出特征鲜明风格迥异的好题若干，并配上十分漂亮雅致的解答，以飨老师与同学.

例1(2015年罗马尼亚数学奥林匹克) 已知a,b,c是满足a>bc2,b>ca2,c>ab2的正数,求abc(a-bc2)(b-ca2)(c-ab2)的最大值.

解：∵(ab-bc)2+(bc-ac)2+(ac-ab)2≥0,∴(bc+ca+ab)2≥3abc(a+b+c),

(-1

例8(2015年韩国数学奥林匹克) 已知a,b,c,x,y是满足a2+b2+c2=x2+y2=1的实数.求(ax+by)2+(bx+cy)2的最大值.

例9(2015年韩国数学奥林匹克)已知a,b,c,x,y是满足a2+b2+c2+x2+y2=1的实数.求(ax+by)2+(bx+cy)2的最大值.

解：∵(ax+by)2+(bx+cy)2≤(ax+by)2+(bx+cy)2+(cx-ay)2=(x2+y2)(a2+b2+c2)+2(ab+bc-ca)xy(*)