寻根问源 多方探究——一道数学竞赛题的探究历程



寻根问源多方探究
——一道数学竞赛题的探究历程

江苏省常熟市浒浦高级中学(215512)殷伟康吴进

1问题提出

2(b-a)≤cosπa-cosπb.(2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题第13题)

此题虽然是一道解答题，但题干精练简洁，个性鲜明，内涵丰富，看似普通，却越探索越感到有“味道”，越能体会到命题者的匠心独具，不亏为一道魅力无穷的好题.笔者试从探索其解法入手，逐步揭开它“神秘”的面纱，并给出它的奇妙多解.

2.常规方法

对于学过导数的学生，此题的入手并不难，根据所给式子的结构特征，通过联想，可以构造函数f(x)=2x+cosπx ，利用导数研究函数的单调性进行证明.

这个证法是参考答案给出的，笔者试从学生实际认知和思维能力角度出发来思考问题，探究其解法.上述证明过程中的二阶求导对部分学生来说不易理解，能否进一步改进证法使它能更适合一般学生的“口味”.

x(0,x1)x1(x1,x2)x2(x2,π)f'(x)-0+0-f(x)↘极小值↗极大值↘

下面同证法一.

通过对原解题方法的改进，使其更贴近学生的实际思维水平，这是因为二阶求导在中学阶段并没有给出相应的实际意义，而且接触得很少，所以一般不直接去涉及这方面内容.

3三角方法

笔者在不经意间想到，上述解题方法涉及到导数知识，但在我市有不少高一学生也参加了这次高中数学联赛，他们仅学过了苏教版《必修一》和《必修四》，掌握的仅是函数、三角、向量等知识，那么他们应如何入手求解这个问题呢？笔者根据问题结论的外表形态与结构，联想相关图形(余弦函数图像)，试从三角函数图像角度入手，运用数形结合进行求解.

图1

①+②有cosπa-cosπb≥2(b-a)成立，即得证．

证法三：直接看y=cosπx,x∈[0,1]的图像(如图2)，如图过点A、B分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点M，利用证法二设点A、B，则M(a,cosπb)，记M′为(0，-1)，则|AM|=cosπa-cosπb，|BM|=b-a．考察y=cosπx,x∈[0,1]的图像，根据其凹凸性知∠ABM≥∠A′B′M′， ∴tan∠ABM≥tan∠A′B′M′， 即

图2

我们知道，余弦函数图像是可由正弦函数图像变换得来的，能否利用正弦函数来处理呢？

图3

此法让人感到：图像清晰，方法简明，一气呵成，妙解也！

此结论证法较多，下面用导数方法证之：

4解题反思

章建跃先生认为，从数学角度衡量，“好题”应具有以下“品质”：与重要的数学概念和性质相关，体现基础知识的联系性，解题方法自然、多样，具有自我生长的能力等；从培养思维能力的角度，则应有：问题是自然的，对学生的智力有适度的挑战性，题意明确、不纠缠于细枝末节，表述形式简洁、流畅、好懂等．按此“标准”，上述竞赛题就是一个“好题”，问题正好贴近学生思维的最近发展区，既有解决的可能性，又有挑战性，它不仅适合不同层次学生的学习和探究，而且还可以在追根溯源的过程中，加以引伸与推广.

反思解题过程，分析问题特征、数学关系，重新审视探究过程(上述四种证法)，不难发现原问题的实质就是三角函数的凹凸性. 函数f(x)的凹凸性的知识在高中教材中有其踪迹，如苏教版《数学·必修1》第二章第二节“指数函数”第55页习题“探究·拓展”第12题，第二章第三节“对数函数”第71页习题“探究·拓展”第12题.若能以这两个“探究·拓展”习题作为探究问题，引导学生开展有效的探活动，在探究活动中让学生自行发现数学规律，可以使学生深切体验到新知识的产生、证明和应用过程，积累数学基本活动经验，领悟其中所蕴含的数学思想方法，发展数学能力.教师应抓住时机，及时对这两个习题进行适度拓展与延伸，诱导学生作进一步的探究，还可以适时引进判断函数f(x)的凹凸性的简洁方法(二阶求导)，有利于学生加深对函数f(x)的凹凸性的理解和运用，把握函数f(x)的凹凸性的本质规律，促进学生思维由具体向抽象推进.这样的教学才是有效的，使学生遇到上述相似问题就会产生有效联想，通过类比，进行合理求解.否则，不仅良好的教学素材会被轻易地“滑过”，而且很难想象学生会联想到这一方面知识进行有效思维.

数学思想是对数学知识的本质认识，是从具体的数学内容和数学认识中提炼而得出的数学观点.上面四种证法中的后三种证法均是运用数形结合思想进行求解，即由问题的结论特征，联想到余弦函数或正弦函数图像，进而发现数与形之间的内在联系，从而使代数问题几何化，使问题得到解决.笔者从“形”的角度进行思考，抓住题目中所给的式子，观察其结构特征，从它们的几何意义入手.根据问题所给信息，通过数形联想，挖掘其几何背景，进行图形表征，利用数形结合思想，得到新颖、优美、简洁的解题方法.