探究一道选择题的代数解法*

2016-04-06王淼生

中学数学研究(江西) 2016年2期

关键词：谜团压轴动点

探究一道选择题的代数解法*

福建省厦门第一中学(361003)王淼生

1提出问题

2011年高考全国大纲卷理科选择题第12题，原题如下(以下简称案例)：

本题短小精悍，优雅高质，一经出炉立即吸引一线教师的眼球，成为向量与数形结合的完美典范.但因其以符号语言形式呈现，难度较大，故而作为当年高考选择题压轴题.然笔者所接触的教辅书(如文[1]等)对本题的解法几乎千篇一律采用以下几何法：

图1 图2

上述几何法解答过程确实异常简捷，因此毫不夸张地说绝大部分数学教师都把此题作为范例，或作为习题，甚至适当变式后作为模拟试题.但令人遗憾的是几乎所有师生毫无例外地照搬上述几何解法，至今还没有发现此题的代数解法，难道不能用代数法来解答吗？

2代数解法

2.1能用代数法吗？

上述几何法优雅、简捷，让人爱不释手，这也是本题倍受青睐的缘由之一，正如爱因斯坦感叹：“美，本质上终究是简单性．”向量既有大小又有方向，因此向量兼具代数与几何的特征，是连接代数与几何的桥梁与纽带.据此笔者从理论上预测本题应该可以用代数法给予解决，这是其一.其二，高考试题是凝聚顶尖专家集体智慧的结晶，是历经专家反复打磨、仔细推敲的极品.对高考试题，尤其是选择题的压轴题，几乎都有多种解法，至少不止一种解法，而且高考试题往往是由一个普遍结论演绎而得到特殊案例，或者是由特殊情况归纳而来的普遍结论，或者由特殊情况类比出另一种特殊案例，这也是当前命制试题较为流行的、基本的套路与模式，尤其高考压轴题更是如此，因此笔者一直坚信此题应该还有其它解法．其三，上述几何法确实让人赏心悦目，但是如此巧妙构思的确不易.基于以上理由，笔者坚信本题应该还有别的解法，至少可以用代数法，哪该怎样解答呢？

2.2多次尝试失败

为了寻觅代数解法，我们建立如图2所示的直角坐标系，设动点C(x，y)，则有

结合上述①、②可得

笔者多次尝试对上述③化简，试图通过两边平方，可事与愿违！因为一旦展开，运算量越来越大、步骤越来越复杂、项数越来越多，导致不得不中途放弃，以失败而收场.

2.3再觅代数解法

2.4释解心中谜团

谜团之一：上述代数推理过程回答了动点C的轨迹并不是一个圆，而是两段优弧，这就说明不少课外教辅书(如文[1]等)对本题的几何法并不是严谨的，至少其图形是不准确的！因为图1是一个圆，而图2却是两段优弧(不包括端点).

谜团之三：笔者原来直接对③强行展开，因为项数太多，最终因心理畏惧无果而终，可是后来采用换元法(※)来处理，其实过程(⑥→⑦)也并非极其复杂，只要展开、合并即可，由此说明换元法在外形复杂的代数运算中具有很强的化简作用，难怪在代数变形上颇有建树的安振平先生、宋庆先生曾指出代数变形能力是数学教师最基本、最重要的功底.

2.5偶然还是必然？

之所以找到上述代数解答方法，得益于上述(#)两边恰好是完全平方，这是巧合还是必然呢？如果是偶然，以后遇到这类试题该如何解答？如果是必然，理由又是怎样呢？

本题所给数据是非常特殊的，尤其是因为∠AOB+∠ACB=π才满足四点共圆，这也是本题采用几何法解答的关键原因.如果∠AOB+∠ACB≠π，那势必难以实施几何法，至少实施几何法不是轻而易举之事，此时采用代数法是一种必然选择，因此笔者一直在思考：由于本题∠ACB是一个特殊角，所以上述推理得到(★)两边恰好是完全平方！正因为(★)两边恰好是完全平方，才使得后面的代数推理变得简单！如果∠ACB不是特殊角，而是一个任意角，哪还可以用代数法吗？用代数推理时，相应的(★)还会恰好两边构成完全平方吗？如果是，那就说明我们寻觅的代数法具有普遍规律，也就是说我们彻底解决了此类问题而不仅仅是破解了一道高考试题而已.

3寻觅一般情况下的代数解法

果真像特殊角情况下那样得到两边都是完全平方！这就意味着动点C的轨迹依然是两段圆弧(去掉端点)！如同前面一样的推理过程可得动点C的轨迹方程为：