可以用尺规法作椭圆吗？



可以用尺规法作椭圆吗？

江苏省丹阳高级中学(212300)史建军

1.方法滋生想法：方法让想法油然而生

在学习《圆锥曲线》第一节(苏教版选修2-1，2.1)时，课本介绍用两种方法得到了椭圆：

方法一：用平面截圆锥面；

方法二：利用椭圆的定义：因为椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为常数且大于F1F2(F1,F2为焦点)，故可选一根长度大于F1F2的细绳，将其两端分别固定在F1,F2点，用笔尖把细绳拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，即得一椭圆.

课堂上，我用方法二演示了椭圆的画法，请了两位学生，三人合作完成，实在不易.于是心中陡生一念：能否弃繁从简，仅用尺规法画出椭圆？

2.想法催生方法：想法让方法绝处逢生

起初连自己都对这个“想法”感到惊讶：此前闻所未闻！问之于同事,皆摇头笑我异想天开.冥思苦想多日，毫无头绪.也许这是天方夜谭，根本不可能？就在我快要放弃时,一道习题让我眼前一亮.

习题1已知⊙C:(x+1)2+y2=25及点A(1,0)，M为圆上一点，AM中垂线交CM于Q，求Q的轨迹方程.

不难求得上述问题的轨迹为椭圆，这个结果使我豁然开朗：既然直接“画”出椭圆很困难，那么是否可以先描出椭圆上的若干个点，用“轨迹法”来“画”出椭圆呢？这个想法让我欢欣鼓舞，经过探索，得到以下结论：

图1

上述结论说明，对于⊙F1上任意的点M，线段MF2的中垂线与MF1的交点Q必在一椭圆上.因此，只要在⊙F1上取足够多的点Mi(i=1,2,…)，就能得到足够多的相应点Qi(i=1,2,…)，顺次连接这些点，就能“画”出椭圆.这个过程虽然只是用点“描”出了椭圆，但仅用到了直尺和圆规，符合“尺规法”要求，更令人惊喜的是，将条件稍作改变，还能用类似的方法“画”出双曲线和抛物线.

定理2若⊙F1:(x-c)2+y2=4a2(c>a>0),点F2(-c,0)，M为⊙F1上任一点，MF2的中垂线与F1M交于Q，则Q的轨迹为双曲线，且方程为

图2

图3

证明：如图3,∵l为MF的中垂线,∴|QM|=|QF|,故Q的轨迹为抛物线，方程为y2=2px.

我把我的方法和同事交流，经过众人反复思考与探讨，一致认为：椭圆作为一种圆锥曲线，已经超出了“尺规法”的能力范围，不可能像直线、三角形、圆那样“一蹴而就”，但可以通过寻求一些可行的、易于操作的“轨迹法”来“描”出椭圆.

如果说油然而生的想法是一种探究，那么对方法的上下求索就是一场探寻，由方法滋生想法，而想法又催生方法，方法让想法绝处逢生，这是一番执着的探求，一次思维的旅行.

3.方法衍生方法：方法让方法妙趣横生

初战告捷，尽管并不完美，但令人振奋的是毕竟找到了“解惑”的思路：即寻求“点的轨迹”，仅用尺规，关键要便于操作.题海茫茫，还能找到这样的“轨迹”，继续探索之旅吗？

问题2已知⊙C1:(x+1)2+y2=4,⊙C2:(x-1)2+y2=4,直线l过原点且与⊙C1交于M1,M2,与⊙C2交于N1,N2,若直线C1M2与C2N1交于点Q,求Q的轨迹方程.

不难求得上述轨迹为椭圆，引入适当的参数，即得双曲线和抛物线.

图4

证明：如图4,∵ΔOF1M2≅△OF2N2，∴∠F1M2O=∠F2N2O，即∠F1M2M1=∠F2N2O，又|F1M1|=|F1M2|=a，∴∠F1M1M2=∠F1M2M1,∠F1M1M2

=∠F2N2O,因此有：|QM1|=|QN2|.从而|QF1|+|QF2|=|M1F1|+|M1Q|+|QF2|=|M1F1|+|N2Q|+|QF2|=|M1F1|+|F2N2|=2a.

图5(1) 图5(2)

证明：如图5(1),∵ΔM1F1O≅ΔN1F2O,∴∠F1M1O=∠F2N1O,又∠F2N1O=∠F2N2N1=∠M1N2Q,∴∠F1M1O=∠M1N2Q,∴|QM1|=

|QN2|,∴|QF2|-|QF1|=|QN2|+|N2F2|-|QF1|=|QM1|+|N2F2|-|QF1|=|QF1|+|F1M1|+|N2F2|-|QF1|=|F1M1|+|N2F2|=2a.

y2=2px.

图6

证明：如图6，∵MQ∥FC,∴∠QMN=∠FCN=∠FNC=∠MNQ,∴|QM|=|QN|,∴|QF|=|QN|+|NF|=|QM|+|MK|,故Q的轨迹为抛物线，方程为y2=2px.

方法源于想法，想法是开启方法大门的金钥匙；方法衍生方法，方法是开启方法之门的一串钥匙.随着方法之门的逐渐开启，思维的逐步深入，探索不再是绞尽脑汁的困顿苦旅，而是妙趣横生的继续远行.

4.几点感悟

可以用尺规法作椭圆吗？当我把我的“想法”与相当教学经验的同事分享时，他们大多意兴阑珊，甚至毫无念及；当我把我的“方法”与他们探讨时，他们却不约而同地兴致盎然，并且乐此不疲地提出了一些有价值的意见.这使我意识到，所谓“经验”，只是教学年岁的增长、教学内容和教学方式的重复，这在很大程度上已经成为阻碍教师专业发展的瓶颈.教师缺乏的不是解决问题的“方法”，而是提出问题的“想法”，即缺乏问题意识.

4.1即使有方法，未必有想法

教师在长期的教育教学过程中，积累了丰富的教学经验和精湛的解题方法和技巧，对常见问题总能从容面对，应付自如.但并非每位教师都能提出问题，更不是都善于提出问题，只是一味地“占有”和“贮存”知识和方法.教师问题意识的缺乏主要有两方面的原因：

一是教师在已经形成的教学习惯中对于日常的问题视而不见.教师工作环境的封闭性、教学内容的重复性以及对象的相似性等都有可能导致教师的惯性思维和习惯行为.这使得教师在教学过程中往往盲从于经验，很难对自己的教学取得进一步的提升，也在一定程度上限制了教师问题意识的养成.

二是教师在教学中，可能会遇到一些问题和困惑，但是由于教师本人会认为这些疑问和问题不重要或者难以解决，而没有对这些疑问或问题作进一步思考.因此，提不出问题，并不说明教师对知识已彻底理解并驾驭自如，久而久之，就难以形成教师对问题的敏感性和自觉性程度，难以培养出教师的问题意识.

4.2如果没想法，必然没方法

问题是思考的对象，是思维发展的产物，没有问题就无法展开思维.提出问题的本质就是创新，创新过程就是创造性思维活动和优化思维品质的过程. “问题意识”指的是人们在认识活动中，经常会意识到一些不易解决或疑惑不解的实际问题及理论问题，并产生一系列如:疑惑、烦躁、焦虑、探索等的一种心理状态，这种心理状态又可以促使个体不断思考，不断提出“问题”和解决“问题”.问题意识不仅仅体现了个体思维能力的活跃性和深刻性，也反映了个体思维能力的独立性和创造性.

一位教师如果没有强烈的问题意识，就失去了思维的源动力，无法促使他们去发现问题，必然丧失了解决问题的过程，也就不可能将自己“贮存”的方法“牛刀小试”，更不可能在方法上有新的发现与创新.因此，问题是数学研究的出发点，是开启思维动力的钥匙，是孕育数学方法的温床.没有问题意识就不会有发现问题和解决问题的思想方法.

4.3研究新想法，活用好方法

每位教师在教学过程中都会遇到一些问题，有的问题解决了，有的问题可能会在一段时间内困扰着教师.不断总结提出的问题，可以理清对教学研究的思路，明确对教学的关注点，既有利于对于已经提出的问题的解决，也有助于新的问题的发现和提出.善于提出新问题，并且坚持不懈地思考和探究这些问题，运用“贮存”的方法不断尝试、研究，不仅能让这些“旧方法”活力四射,从更深的层次理解和掌握解题规律和方法，从数学思想方法的高度上融会贯通，掌握数学的精髓，更能及时发现自己在知识和方法上的局限,突破瓶颈,拓展视野,博采众长,获得解决问题的“新方法”,不断发展与完善自己的知识结构和专业素质,获得不断的进步和成长.

数学在不断的提出问题、不断的解决问题的过程中得到发展.18世纪初，从哥尼斯堡问题的提出到解决,使欧拉和他那个时代的数学家开始认识到，存在着某种新的几何性质，它们和欧氏几何中研究的几何性质完全不同,这种认识是拓扑学产生的背景.在探寻五次和五次以上方程的一般公式解法的过程中，伽罗瓦另辟蹊径，开创性地提出了群论.可见“提出问题”是数学创新的基础，也是数学发展的要求.

教师作为教学研究者，不能只停留在知识和方法的“占有者”和“贮存者”的层面上，被动地思考，而要做一个教育教学的主动探索者.而要想做一个探索者首先必须要有强烈的“问题意识”，主动地发现问题，要带着问题去研究教学，做思考的实践者.用科学的精神去探究，用教育科研的方法去研究，力求找到解决问题的方法和途径.提出问题比解决问题更重要，解决问题也许仅仅是一个数学上的方法和技巧而已，而提出问题，从新的角度去看待旧的问题，却需要有创造性的想像力.因此，教师在教学实践过程中应努力培养自己的“问题意识”，做一个有“想法”的教师.