一道经典高考数列压轴题的教学分析



一道经典高考数列压轴题的教学分析

江苏省沛县中学(221600)崔道永

高考试题中的压轴题是命题者凝神聚力的成果，它或依靠命题者深厚的解题经验或来源于他们生活中的灵感而具有丰富的解题思想方法与能力考查功能，并对我们的数学教学尤其是高三的复习教学提出明确的指向性；数列是高中数学教学的重要组成部分，因其涉及的知识面广而成为高考压轴题的重要来源之一.下面是笔者的一次课堂经历，在教师的引导下学生自主探究了2005年江苏高考试题数学卷数列压轴题的解法与思想，以说明笔者对高三数学二轮复习的一些看法，不当之处敬请老师们批评指正.

1.试题呈现

设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1,a2=6,a3=11，且(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=An+B，n=1,2,3，…，其中A、B为常数．

(1)求A与B的值；

(2)证明数列{an}为等差数列；

(3)略．

2.教学过程

师：观察试题结构，如何解决第1小题？

生1：对递推关系式赋值，分别令n=1,2可联立关于参数A,B的方程组，不难解得A=-20，B=-8.

师：很好，这里利用了特殊化的解题思想，第2小题呢？

(小组合作交流、讨论5分钟)

生2：解决递推式问题经常用“逐差法”，即，将n变为n+1后所得的式子与原式作差寻求数列两项或多项之间的关系，进而找到数列的项所呈现的规律.

师：说的不错，我们经常用“复制作差”的方法解决该类问题，你们小组作差后的情况如何？展示一下.

生2：将①式(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=-20n-8中的n变为n+1复制后可得②式(5n-3)Sn+2-(5n+7)Sn+1=-20n-28，由②-①可得③式(5n-3)Sn+2-(10n-1)Sn+1+(5n+2)Sn=-20.

师：越来越复杂啊！

生2：是啊，越逐差越乱了啊，是不是我们小组采用的方法错了啊？

师：常用逐差法探究数列递推式问题本身并没有错，可得有信心啊！

生3：老师我知道了，在把③式中的n再变为n+1后再作差，看看情况.

生2：对啊，将③式中的n再变为n+1后可得④式(5n+2)Sn+3-(10n+9)Sn+2+(5n+7)Sn+1=-20，④-③可得(5n+2)Sn+3-(15n+6)Sn+2+(15n+6)Sn+1-(5n+2)Sn=0,(5n+2)(Sn+3-Sn)-3(5n+2)(Sn+2-Sn+1)=0,即(5n+2)(an+1+an+2+an+3-3an+2)=0，化简可得an+1+an+3=2an+2，且a1，a2，a3也满足，所以数列{an}为等差数列.

点评:用“逐差法”处理相关的数列递推式问题在教学中很常见，尤其是递推式中隐含的数列的特定性质不明显时，可把n变为n+1后作差寻求解决问题的突破口.高考压轴题往往具有一定的区分度以起到选拔优秀人才的作用，而许多压轴题的解题思路离不开学生扎实的基本功和过硬的心理素质，对于本题通过一次作差得到③式，在高考寸秒寸金的考场上很多学生就因恐惧失去了信心，更放弃了距离答案只有一步之遥的正确结果，因此我们在日常教学解决一些复杂的常规问题时应鼓励学生增强自信，例如这里的二次逐差，再如利用导数研究函数的单调性、极值等问题经常碰到的二次求导问题都应该有坚持运用解决问题的通性通法的意识.

压轴题、难题如此，中低档题也需要过硬的心理素质，高考试题中容易题、中档题及难题的占比为4∶4∶2，容易题设计思路单一，难度相对较小，对大部分学生都应该做到不失分而不是少失分，而现实并不像我们期待的那样，因此加强应试的解题心理疏导应成为二轮复习教学的常态.

师：运用“逐差法”还能否简化过程？请观察递推式中的系数.

生4：结合①式(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=-20n-8，有两个5n，展开后合并有5n(Sn+1-Sn)-8Sn+1-2Sn=-20n-8 ，即得⑤式5nan+1-8Sn+1-2Sn=-20n-8，将⑤式中n变为n+1得⑥式5(n+1)an+2-8Sn+2-2Sn+1=-20n-28，⑥-⑤有5(n+1)an+2-5nan+1-8an+2-2an+1=-20,即⑦式(5n-3)an+2-(5n+2)an+1=-20.

师：虽然很麻烦，但比③式看着舒服多了，经过一次作差所得的结果形式上简单了，但还是没有完成任务.

生4：将⑦式中n变为n+1得⑧式(5n+2)an+3-(5n+7)an+2=-20，⑧-⑦有(5n+2)an+3-(5n+7)an+2-[(5n-3)an+2-(5n+2)an+1]=0，即an+1+an+3=2an+2.且a1，a2，a3也满足，所以数列{an}为等差数列.

生5：观察⑦式(5n-3)an+2-(5n+2)an+1=-20刻画了连续两项之间的关系，可构造与{an}相关的新数列从而间接的求其通项，待定系数可设：

化简得an+2=5n+6，从而an=5n-4.

且a1，a2，a3也满足，因为数列{an}的通项是关于n的一次结构，且an-an-1=5.

由定义可知数列{an}为公差为5的等差数列.

点评:问题的解决应遵循求简、求快速的原则，这样可以节省时间、提高信心.这里结合①式中的两个“5n”通过一次作差得到较③式更为简洁的⑦式，避免了③式给学生感官上带来的茫然，并且在⑦式的基础上可多角度的审视问题，最后生5还发现利用迭乘法解决问题.

师：很好，看来大家对等差数列的判定问题很熟悉了.

师：看起来不错，大家考虑一下有问题吗？

生7：用待证的结论作为条件来证明结论，犯了循环论证的错误.

师：有道理，根据递推式导致数列的确定性，有没有避免循环论证错误的方法呢？

生7：生6证明了数列{an}的存在性，只要补充证明其唯一性即可，原因是5n-8，5n+2均不为0，故{Sn}唯一确定，从而{an}也唯一确定.

生8：受生7的数列唯一确定的启发，结合命题是关于正整数n的命题，可根据数列{an}的前三项先猜测其通项公式再运用数学归纳法证明.

师：很好！数学归纳法是解决与正整数n相关的命题的常用方法，但也要证明其唯一性.

(生8板演，集中交流展示)

生8：由a1=1,a2=6,a3=11可猜测an=5n-4，证明如下：

当n=1,2,3均成立；

所以猜测成立，结合数列的唯一确定性易知an-an-1=5，所以数列{an}为等差数列.

点评:首先，运用逆向思维解决问题在数学教学中要求层次较高，生6、7、8在环环相扣的条件下从结论入手，即先假设或先猜测{an}为等差数列，再结合①式化简，但容易犯循环论证的错误，即一般问题将结论当条件进行证明结论，显然逻辑上讲不通；但本题鉴于5n-8，5n+2均不为0，得出{Sn}与{an}具有存在性与唯一性，因此用辩证的观点去思考可培养学生看待问题的理性精神，在处理问题时能使他们不断地通过自我检测并改进、优化方法并梳理事物间的变化关系，也能在一定程度上培养学生思维的严谨性.

其次，从特殊探究一般问题是基于普遍性存在于特殊之中的普遍规律，而解决数列的通项问题其中一种重要方法就是归纳，但需要科学严谨的证明过程，本题通过归纳出的首项、公差在证明时容易对号入座.

第三，利用类比的方法思考问题学生能不断的积累基于问题解决的思想方法与解题能力，通过对条件、结论信息的不断加工并不断地发散思维、寻求类似的相关的数学模型及思想方法进而提升了学生对问题的表征能力与迁移能力，更重要的是学生优秀的思维品质、数学素养一起得到加强与升华，这里虽然看似生6的验证法与生7的数学归纳法风马牛不相及，但在解决该问题时又都是基于先猜再证的思想，因此类比教学的重要之处在于寻求两类或多类问题之间的可类比点，并发现问题解决的入口.

师：今天在同学们的共同努力下，我们用了多种方法研究了一道“十年纯酿”：2005年的高考江苏卷的数列压轴题，你有何收获？

生10：证明数列为等差数列的常用方法：(1)定义法；(2)通项为关于n的一次结构；(3)和式为关于n的二次结构；(4)连续三项间的关系an+an+2=2an+1，处理的策略主要有逐差(商)法、迭加(乘)法、公式法、构造生成数列及先猜测后证明等.

3.几点思考

3.1教学中师生要对教学素材多一点研究

低年级的新授课不应是遵循教材机械的讲解，更多要求教师在教材的研读、素材的整合、问题的引入方式方法及知识的生成过程上多下功夫，这样才能激发学生的学习兴趣与求知欲，相反按部就班的平铺直叙只会使教学效果黯然失色；高三的复习课主要以试题为载体说明知识的来龙去脉与之间的相互关系，这就需要对试题的价值准确定位，通过深入研究并剖析问题对贯通思想方法的功能，现实中大多数学生认为压轴题对紧张有序的高三二轮复习没有任何意义，不少一线教师在二轮复习的教学中对试题的评讲也有这样的误区，即：不讲也会的不讲，讲了不会的也不讲，如此以来难度较大的试题包括经典的高考压轴题就失去了它本有的教学价值，本文说明部分压轴题仅仅是简单问题难度上的增强版，它对于掌握解决数列问题的常见方法的作用不言而喻，其它有的题目可能偏爱于这一种方法，而另一道题目却偏爱于那一种方法，总之很多压轴题不仅能帮助学生系统的认识问题，更重要的是还可以揭示高考难度较大试题的面纱增强自信心，而不是对压轴题敬而远之，试想学生从来没有站在一定的高度上其眼光也不会长远.

3.2二轮复习应注重知识的宏观结构、问题的本质与问题解决的通性通法

近年来高考经历了若干次大的改革，主要体现在考试的方案与试题命制的方向，但对核心知识及思想方法的考查并未随之呈现大幅变化，例如本文呈现的数列的项、和及其之间的关系问题依旧出现在全国各省市的高考试题中，笔者所选取的试题虽然距今已有10年之久，但因为具有能反映数列一章宏观结构、体现问题本质与思想方法的功能而精彩，所以二轮复习应借助部分有价值的压轴题的讲解将实效落到实处.难度较大的高考试题经常在知识的交汇处设计问题以突出其考查的综合性、全面性，只有学生大脑中形成非常清晰的知识结构与思想方法体系才能高屋建瓴的优化解题方向；虽然本题难度较大，但辩证的思考通性通法与巧法它们又是矛盾的统一体，因为用过两次的巧法就可以认为是一种通法，对于基础较好的同学新事物、新方法是可行的、必要的.

3.3突出学生的主体地位，通过活动教学促进“四基”相互作用并真正实现减负增效

当下不同的教学模式在全国各地应运而生，每种教学模式都不可避免的存在一些不足甚至是弊病，但它们中的很多依据建构主义的理论通过学生自主活动克服了传统的简单传授式教学的不深刻性，学生反映记的比以前更久了.本节课从开始的试题条件与结论的分析到思路方法的选取再到结尾知识与方法系统的总结都是在学生自主的情况下完成，教师仅仅扮演了引路人的角色，这与课改的方向一致，与教学的认知规律相符，的确在探究的过程中学生收获的是学习的快乐与能力的提升.

当学生在不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程的操作过程中形成并积累着由感性向理性过度的基本活动经验，而基本活动经验经过形式化的演绎可准确的帮助学生的表征能力，也可深化对数学模型的细化，另外通过对基础知识的归纳形成了问题解决的内核数学思想方法，最终提升了学生的思维水平.