生活中的“相交线”与“平行线”

相交线、平行线以及平移在现实生活和生产中有着广泛的应用，下面我们用实例予以说明.

一、相交线在生活中的应用

我们知道，有且只有一个公共点的两条直线叫做相交线.对于相交线，我们要从垂线和相交线中的角这两个方面来认识.

1.对“对顶角相等”的应用

例1 图1是一座建筑纪念塔的底座示意图，小明想测量这座塔在地面上形成的∠ABC的度数，但一时想不到办法，请你帮助小明设计出两种方案来测量.

分析：在现实生活中，常常需要测量一些建筑物两墙所形成的角.对于本题中涉及的建筑物，我们虽不能进入其中，但可运用邻补角和对顶角的知识来完成测量任务.

解：

方案一：如图2，作AB的延长线BD，可测得∠CBD的度数，再由∠ABC与∠CBD互补，即可求得∠ABC的度数；

方案二：如图3，分别作AB的延长线BD和CB和延长线BE，则可测得∠EBD的度数.由∠ABC与∠EBD互为对顶角，对顶角相等，即可求得∠ABC的度数.

评注：面对一些不能直接测量建筑物的情况时，可以构造对顶角，利用对顶角相等的性质解决问题.

2.对“垂线段最短”的应用

例2 一辆汽车在直线形的公路上由A向B行驶，M、N分别是位于公路AB两侧的学校，如图4所示.（1）汽车在公路上行驶时，会对两所学校的教学都造成一定的影响，当汽车行驶到何处时，分别对两所学校的影响最大？请在图上标出来.（2）当汽车从A向B行驶时，在哪一段路上对两所学校的影响越来越大？又在哪一段上对M学校的影响逐渐减小，而对N学校的影响逐渐增大？

分析：生活常识告诉我们，汽车离学校的距离越近，噪音对学校的影响就越大；离学校的距离越远，则噪音对学校的影响就越小.

解：（1）如图5，作MC⊥AB于点C，ND⊥AB于点D，根据垂线段最短可知，汽车在点C处对M学校的影响最大，在点D处对N学校的影响最大；（2）汽车由A向点C行驶时，对两所学校的影响逐渐增大；汽车由点D向B行驶时，对两所学校的影响逐渐减小；汽车由点C向点D行驶时，对M学校的影响逐渐减小，而对N学校的影响逐渐增大.

评注：“垂线段最短”可以优化我们的生活，在实际生活中应用较广，体育比赛中跳远成绩的测量就是依据这个性质.

二、平行线的性质及判定在生活中的应用

平行线的判定有：（1）同位角相等，两直线平行；（2）内错角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行；（4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行；（5）如果两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行.平行線的性质是平行线的判定的逆用.

1.对平行线性质的应用

例3 小新的爸爸是自来水公司的技术员，在一次由西往东安装自来水管道时碰到了一块巨大的石头挡住了去路，只好避开石头绕道而行，绕过石头后按要求又必须恢复由西往东的方向.

如图6，当他们从点A铺设到点B处时，决定改变方向经过点C，再拐到点D处，然后沿与AB平行的方向DE继续铺设.试问：如果∠ABC=135°，∠BCD=60°，那么∠CDE的度数应为多少？

分析：将本题转化为数学问题，如图7，已知AB∥DE，∠ABC=135°，∠BCD=60°，求∠CDE的度数.如何求∠CDE的度数？关键在于对AB∥DE的这个条件的运用.

解法一：构造同位角，利用“两直线平行，同位角相等”.

如图7，延长ED到G，交BC于F，

∵AB∥GE，得∠GFC=∠B=135°，

∴∠DFC=180°-∠GFC=180°-135°=45°，

又∵∠FDC+∠DFC+∠C=180°，

∴∠FDC =180°-∠DFC-∠C

=180°-45°-60°=75°，

∴∠EDC=180°-∠FDC=180°-75°=105°.

解法二：构造内错角，利用“两直线平行，内错角相等”.

如图8，延长ED交BC于F.

∵AB∥FE，得∠BFD=∠B=135°，

∴∠CFD=45°，下同解法一，

得∠CDE=105°.

另解：如图9，连结BD，

∵AB∥DE，∴∠ABD=∠BDE，

即∠ABC+∠CBD=∠BDE，

∴∠BDE=135°+∠CBD，

∵∠CBD+∠CDB+∠C=180°，

∴∠CBD+∠BDC=180°-60°=120°，

又∵∠BDE+∠CDE+∠BDC=360°，

∴∠CDE=360°-（∠BDE+∠BDC）

=360°-（135°+∠CBD +∠BDC）

=360°-（135°+120°）=105°.

解法三：构造同旁内角，利用“两直线平行，同旁内角互补”.

如图10，过点C作CF∥DE，

∵∠D+∠DCF=180°，又∵AB∥DE，

∴AB∥CF，∴∠BCF=∠B=135°，

即∠BCD+∠DCF=135°，

又∵∠BCD=60°，

∴∠DCF=75°，∴∠CDE =105°.

2.对平行线的性质与判定的综合应用

例4 如图11所示，潜望镜中的两个镜子是平行放置的，光线经过镜子反射时，入射角等于反射角（它们的余角有∠1=∠3，∠4=∠6），请解释为什么进入潜望镜的光和离开潜望镜的光线是平行的.

分析：因为镜子是平行的，所以可以把它们看成是两条平行线，根据两直线平行，内错角相等，所以有∠3=∠4，又因为∠1=∠3，∠4=∠6，所以∠1=∠3=∠4=∠6，所以180°-（∠1+∠3）=180°-（∠4+∠6），即∠2=∠5.根据内错角相等，两直线平行，所以进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的.

评注：本题从平行线的性质“两直线平行，内错角相等”出发，得出了平行线，再利用平行线的条件“内错角相等，两直线平行”判定两直线平行.

三、 平移的特征及应用

平移的特征主要有：（1）对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等；（2）图形平移后的形状和大小没有发生变化，只是位置发生变化；（3）图形平移后，对应点连成的线段平行且相等；（4）图形平移后，原图形上的点或图形也作了相同的平移.

例5 如图12，一个楼梯的总长度为5米，总高度为4米，若在楼梯上铺地毯，至少需要多少米？

解析：如图13，将竖直的线段都平移到BC上，将水平的线段都平移到AB上，由此可知折线AC的长等于AB与BC的和.故地毯的总长至少为5+4=9（米）.

评注：平移、化局部为整体、化折线为线段是解这类题的常用方法.

例6 如图14，张三打算在院子里种蔬菜，已知院子为东西长32m、南北宽20m的长方形.为了行走方便，要修筑同样宽的三条道路：东西两条，南北一条，南北道路垂直于东西道路，余下的部分要分别种上西红柿、青椒、菜豆、黄瓜等蔬菜，若道路的宽均为1m，求：蔬菜的总种植面积是多少？

分析：解答本题的方法有多种，若从平移的角度去考虑，则只需将道路平移到边上去.如图15，将三条道路平移到边上去，则空白部分的面积即蔬菜的种植总面积，因此蔬菜的总种植面积为（20-2×1）（32-1）=558（m2）.

评注：平移前后，图形的大小、形状都没有发生改变，则图形的面积也没有改变.利用平移的这一特征可以巧算某些图形的面积.