巧用课堂生成构建数学模型——以《鸡兔同笼》教学为例

王章莲（特级教师）

一、巧用生成，渗透思考方法

【教学片断】

出示习题：笼子里关着一些鸡和兔，从上面数，鸡头有12个，兔头有8个，从下面数一共有多少只脚呢？

出示这一题的目的是引入新课，帮助学生找到其中两个隐含的条件。但在课堂的教学中，我发现这一题的作用远大于此。学生做题时，发现有这样一种方法：（12+8）×2。

师：你认同她的计算方法吗？

生：错的，她把鸡和兔全部看成了2只脚。

生：兔子应该是4只脚，怎么可能是2只脚呢？

生：她把兔子看成了2只脚，每只兔子少算了2只脚，脚算少了。

生：每只兔子少算了2只脚，一共少算了16只脚。

师：正确的方法是什么呢？

生：12×2+8×4＝56（只）。

师：其实，她的方法并不完全错，你有方法补救吗？

生：可以改成 12×2+8×4。

生：这不是在她的方法的基础上改的。

生：（12+8）×2+8×2。

师：怎么想的？

生：因为她把所有的兔子全部看成了鸡，每只兔子少了两只脚，一共少了8×2＝16（只）脚，所以应该加上8×2。

师：看来这道题除了常规的方法外，我们还可以将错就错，将兔子全部看成鸡，然后再补上少算的脚数。

【教学思考：

课前只是想通过这道简单的热身题引出新课，帮助学生明白这类题的基本结构，使学生知道这种题中隐含着两个条件：鸡有2只脚，兔有4只脚。没曾想到，课堂上出现了不曾想到的方法：（12+8）伊2。显然，这种方法是错误的，教学中我顺利地捕捉到了这一生成资源，引导学生展开充分的分析与思考，使学生发现：其一，如果把兔看成鸡，每只兔子就少算了2只脚；其二，在解决这一问题时，除了一般的方法外，也可以把兔看成鸡，然后再补上少算的脚数。

千万别小看了学生无意中的生成，这种方法正是用假设法解决鸡兔同笼问题的最难理解的地方，一旦这点得以突破，鸡兔同笼问题就迎刃而解。教学中由学生误打误撞的解法出发，通过师生之间、生生之间有效的交流，学生对于鸡兔同笼问题的精髓已知晓了一半。】

二、善用启发，激发思维碰撞

变式问题：笼子里有若干只鸡和兔，从上面数共有8个头，从下面数共有26只脚，鸡和兔各有几只？

通过对比，学生发现虽然与习题中有很多类似的地方，但还是有很多不同内容，不少学生思考了3分钟，还是毫无头绪。怎么办呢？经过短暂的思考后，我感觉应该给他们指明思考的方向。

师：当遇到不会解决的问题时，我们可以怎么办呢？

生：画图。

师：画图是一种不错的方法。除此之外，还有呢？能不能用最原始的方法呢？

生：猜（这里的猜其实就是列举）。

又过了差不多5分钟，终于有一些学生有方法了。

1.1.1 《国务院关于加强青少年体育增强青少年体质的意见》中指出：“在校学生每天的体育锻炼时间不得少于一小时。大力推进全民健身计划，构建多元化体育服务体系”。以校本课程开发为载体，深入到全校教师与学生、课程与教学、制度与文化，以深化特色创建为抓手，引领学生发展、教师发展、学校发展是课程改革的宗旨。

生1：我用的是猜的方法，具体展示如下：

鸡　1　2　3兔　7　6　5脚　30　28　26

生 2：4×5+3×2＝26。

师：你们看得懂吗？有什么问题要问她？

生：你怎么一开始就知道鸡有3只，兔有5只？

生2：我也是试出来的，试出结果后，我再根据结果列出的算式。

师：我明白了，你展示的是试的结果，前面的那位同学展示的是试的过程。

生3：我是用画图的方法来解决的，先画8个圆，代表鸡和兔有8只，然后给它们每只先画2只脚，这样只有16只脚，然后再从第一只开始，每个再添上2只脚，添了10只脚，是5只兔子，鸡有3只。

（实物投影展示学生画的图）

师：你每只动物画2只脚，一共只有16只脚，少了多少脚呢？是谁少的？

生：少了10只脚，正好是5只兔子。

……

【教学思考：

1.恰当地启发，引出精彩。

问题抛出后，教室里静悄悄的，没有一丁点的声音，学生都在冥思苦想，巡视后发现学生基本上是束手无策，怎么办呢？此时，最好的办法就是通过师生之间的交流，找到思维的症结所在，引导学生逐步找到解决问题的策略。经过5分钟左右的尝试，最终有不少学生想到了解决的方法。

2.充分地展示，呈现多彩。

每种方法，学生都是经过深思熟虑的，在他们自己看来，自己的方法都是最好的！课堂上为了了解学生的方法，引导学生直观感知解决鸡兔同笼问题的一般方法，花了大量的时间，让学生展示自己的方法。共展示了三种方法，为了让每个学生都能看懂，我要求他们配合实物投影仪介绍自己的方法，并通过同学的提问，提升自己和同学对每种方法的认识与理解，这种介绍、展示的方法，使学生不仅解决了问题，而且认识到解决这类问题可以用列举法、画图法、假设法等多种方法来解决。

3.巧妙地延伸，做好铺垫。

画图法是一种直观的解决问题的方法，学生之所以能想出这样的方法，他们的思维层次是初级的，在画图时，学生更多的是想到通过画图来解决这个问题，这种画图只是单一的、低层次的。但是在教学中我抓住这一生成的资源，巧妙地引导，将其和假设法联系起来，为下一环节的假设法的学习做了充分的铺垫。】

三、构建模型，巧留思维悬念

【教学片断】

出示：龟鹤问题

1.有龟和鹤共40只，龟的腿和鹤的腿共有112条。龟、鹤各有几只？

师：今天我们不是学习鸡兔同笼问题吗？怎么出现了这个问题，是不是我搞错了？

生：没有，这也是鸡兔同笼问题。

师：怎么看？

生：龟是4只脚，就相当于兔，鹤是2只脚，就相当于鸡。

师：你会用什么方法解决？

生：鸡兔同笼问题的方法。

师：刚才我们把兔全部看成鸡，可不可以换种假设对象呢？

生：还可以全部都假设成兔。

师：怎么假设呢？下课后自己思考。

【教学思考：

教学“鸡兔同笼”问题价值何在呢？“让学生通过接触这些重要的数学思想方法，经历猜想、实验、推理等数学探索的过程，激发学生对数学的好奇心和求知欲，增强学生学习数学的兴趣。”在教学中有目的地渗透转化的思想、列举的思想、画图的思想、假设的思想、建模的思想，是实施这类教学的核心所在。其中，数学建模思想的渗透是本节课渗透的重点，通过帮助学生建立起解决“鸡兔同笼”问题的数学模型，进而形成解决这一类数学问题的思维策略。同时，数学建模的思想方法得到有效的渗透。

正是基于以上的认识，在教学中，有意识地引导学生借助“龟鹤”问题，拓展例题中关于“鸡兔同笼”问题的思考空间，引导他们从更广泛的层面去观察、分析、思考不同意义下的“鸡”与“兔”之间的关系，巩固“鸡兔同笼”的解题策略，丰富“鸡兔同笼”数学模型的内涵。

学生课堂生成的学习成果与课后呈现的数学问题有机地交织在一起，不仅有效地促进了数学建模思想的延伸与发展，更有利于学生数学思维的延伸与发展。】