以疑引思发挥学生的主体性——《定义新运算》教学实践与思考

夏小佳　徐林祥

【教前思考】

《定义新运算》是浙教版义务教育实验教科书配套练习能力训练六年级的内容。学生已有经验是：1.熟练掌握四则运算；2.能根据规定好的规则进行计算。为了确定本课的教学目标，笔者想到了在教学前对六（四）班51位同学进行前测。前测的题目是：

1.若 A*B 表示（A+3B）×（A+B），求5*7的值

2.定义新运算 a△b=（a+1）÷b，求 6△（3△4）的值。

3.设x、y为两个不同的数，规定 x□y=（x+y）÷4，求 a□16=10中a的值。

4. 如果 1※2=1+11、2※3=2+22+222、3※4=3+33+333+3333

计算：（3※2）×5。

前测结果统计

第一题 第二题　第三题　第四题　第五题正确人数 48人　41人　41人　42人　33人正确率　94.1%　80.4%　80.4%　82.4%　64.7%

从上表中，我们不难看出六年级学生按规则运算的水平很高，前面4题的通过率都达到了80%以上。但从第五题的正确率来看，学生缺乏发现规则、概括规则的能力。因此，笔者认为：本着在数学课程建设中训练思维、发展思维的重要性，本节课的目的不应该单纯为了求出一个结果、引出一个结论、做对几道题目，而要突出训练中的思维过程，即分析的过程、推理的过程和概括的过程。

【教学过程】

一、定义新运算

1.回顾学过的四则运算。

师：同学们，你们知道吗？有一种电脑计算程序，当我们输入两个数时，很快可以输出计算结果。比如，先输入3再输入2，你觉得输出计算结果会是多少？

生：可能是5,3+2=5。

生：也有可能是6,3×2=6。

……

师（出示8）：输出结果是8！你知道它是怎么运算的吗？

【说明：设计开放的情境，提出情理之中、意料之外的答案，引起学生的诧异，继而是一探究竟的兴趣。】

2.猜想符合要求的运算规则。

师：这个结果“8”是怎么运算出来的？请同学们静静地思考1分钟。

生:23=8。

生:3×2+2=8。

生:2×（3+1）=8。

生:32-1=8。

生:3+2+3=8。

3.揭示课题。

师：8既不是“3+ 或 -2”得到的结果，也不是“3×或÷2”得到的结果，我们可以用像这样的特殊符号来表示它（板书3※2），这个符号代表了一种新的运算规则，称之为定义新运算。

4.补充两道算式，验证

“※”代表的运算规则。

师：同学们在讨论当中得出这么多可能，再提供给大家两道题目，整体考虑一下，哪些规则还是正确的？哪些就不正确了。

（课件出示：3※5=20,5※4=24）

学生独立思考，小组讨论，全班交流。

生：我觉得第二种是对的，3※5=3×5+5，5※4=5×4+4。

生：我认为第三种也是正确 的 3※ 5=3×（5+1），5※4=5×（4+1）。

生：这两种运算规则其实是乘法分配律的两种形式，都是正确的。

师：好眼力，这两种形式表示的是同一种运算规则。谁能用自己的语言说一说这个规则？

生：第一个数与第二数的积加第二个数。

生：我们把第一个数可以表示为a，第二个数表示为b，运算规则就是a※b=a×b+b。

生：我认为还可以表示成a※b=a×（b+1）。

5.总结学习方法。

师：同学们都很会思考，现在请大家回忆刚才的环节，我们是怎么找到这个规则的？

猜测——验证——得出字母式

【说明：经历猜测——验证——概括的过程，积累归纳活动的经验，为更多学生参与到更为综合的学习中做好准备。】

二、自主探究，寻找运算规则

1.寻找规则。

师：同学们已经学会了找一组算式的运算规则，如果我再提供给你两组算式，你还能得出规则吗？

第一组算式

第二组算式：

（1）独立探索、理解符号所表示的运算规则，并用字母式表示。

（2）反馈交流：你是怎么确定运算规则的？

汇报第一组：

生：我先看第一个算式，把所有可能的运算规则都罗列出来，然后用第二个和第三个算式进行验证，最后得出规律。

师：大家能明白他所经历的过程吗？那你得出怎样的规则？

生：如果设第一数为a,第二个数为b,那么这个符号所代表的运算规则就是2（a-b）。

师：他是用这样的思路去解决这个问题，还有没有不同的想法？

生：我是想到一种运算规则，马上就用另外两个算式去验证，很快也就找到这个符号表示的运算规则了。

师：大家明白他的意思吗？一个是列好全部的规则再删选，另一个同学是列一个规则判断一个。我们可以用不同的方法来探寻规则，但都需要——观察、猜想、验证、概括。

汇报第二组：

生：我是先看1▲3=1+2+3，我猜从第一个数1开始加，加到 3。再看 2▲4=2+3+4+5，3▲5=3+4+5+6+7，都是从第一个数开始加。所以a▲b就表示从a开始连续加。

a▲b=a+a+1+a+2……

生：我觉得他对b的理解是不到位的。b也有意义的，它表示加几个数。我是这样写的。

生：其实我们可以表示出最后一个加数，第一个算式加到3,3=1+3-1，第二个算式加到5,5=2+4-1，第三个算式加到7,7=3+5-1，我发现最后一个加数是两数的和少1，所以用字母可以表示成a▲b=a+a+1+a+2+……+(a+b-1)。

（3）运用以上的规则试编算式。

师：通过大家的努力，我们归纳出了这组计算规则。你能继续写出符合这个规则的算式吗？

出示：4※6=4+5+6+7+8+9

师：这个算式对吗？

生：我觉得是对的，4运算6表示从4开始连续加6个数，符合规则。

生：我不同意，在同样的规则下我们要用相同的符号来表示。所以我们写的算式也要用▲这样的符号表示。

师：这个建议很好，定义新运算，在同一组算式中，一个符号所表示运算规则应该是一致的。

【说明：交流和比较不同的思考方法，不仅强调思维的结果，更强调思维的过程。在活动中，感悟什么叫“定义”、“运算”与“运算符号”的关系等等。】

2.创造运算规则。

师:同学们，刚才我们是找寻现成算式的运算规则。大家想不想自己来定义新的运算规则？请看大屏幕的要求，谁来读一读？（课件呈现）

要求一想：心中想好运算规则。二写：依据运算规则写出一组算式（至少3个为一组）三猜：让同桌猜猜运算规则是什么。

（学生独自编题，小组讨论，全班交流）

展示学生作品：

（图一）

（图二）

师：（指图一）这位同学给大家提了一个问题。17运算19的结果是多少?

生：结果是323，我发现这个符号表示的规则是第一个数乘第二个数的积，所以17×19=323。

生：我还可以用字母式表示 a▲b=ab。

师：和他们想法一样的请举手，接着看第二组作品，你还能猜出这个符号表示的运算规则吗？

生：我认为运算规则是a×2+b。

生：我觉得这个规则不对，因为按这个规则运算最后一个算式，10×2+12≠62。只要有一个算式不符合，就不能认为是这个符号的普遍规则。

生：对，在一组算式中，同一种符号表示的规则应该是一样的。

师：刚才两位同学的建议大家听明白了吗？请大家再想想。

（同学一片沉默）

师：那这是谁出的？自己来揭晓规则好不好？

原作者：我想的运算规则是两个数的最大公因数加上它们的最小公倍数。

师：我们来判断是否是这样的规则。（引领学生逐题验证）

（学生兴致盎然，有人说：“潜伏”得好深啊！引来一片会心的笑声……）

【说明：在理解的基础上，开放学习材料，鼓励学生自己去创造、创编运算规则，再相互推理、“破译”规则，实践表明，这样的活动参与面很广，参与程度很深。交流时让学生自己思考辨析，在不断的思维碰撞中更加理解规则的唯一性。】