讲道理激活学生数学思维的诉求

林　琳　罗鸣亮

常有人说数学姓“思”，“思”在这儿可作“思考、思维”之意，正所谓“思接千载、视通万里”。奥加涅相在《中小学数学教学法》一书中也提出“区别于传统的教学，现代教学的特点在于力求控制教学过程以促进学生思维发展”。在新课程的视野下，许多教师都意识到学生数学思维的发展已经成为教学的主要目标之一。但是反观教学的现实，我们仍然能发现很多“不讲理”或“伪讲理”的教学，从而导致学生数学思维功能的僵化的现象。那么，讲道理对激活学生的数学思维究竟有什么样的影响、能带来什么样的帮助呢？

一、直面“规定”辨“理”，感悟思维的批判性

数学上有许多规定，如：长方形的长乘宽能求出长方形的面积；列小数加法竖式时小数点对齐，而在列小数乘法竖式时末位对齐；在混合运算中先算乘除再算加减等等。大都通过符号、文字或图形的形式呈现在数学文本上。它既掩盖了知识发生发展的脉络，也隐藏了数学家经历过的直觉、猜想、错误、反思、验证等发现知识的过程。看上去这些规定似乎都是硬邦邦的，需要被重复、被强化。而事实上，数学的许多规定都是有其道理的。对于这些规定虽然不需要学生一一证明，但正如课标指出的：“要让学生感受规定的合理性，并在这个过程中学会数学思考，感悟理性精神。”在教学中我们可以引导学生以批判的眼光审视“规定”的合理性，透过关注数学规定的表面，去思辨数学规定背后隐含的道理。

如《混合运算》一课，众所周知，本课就知识而言相对比较简单，显性的目标是掌握先乘除后加减的运算顺序和递等式的计算方法，大部分学生都已懵懂知道“先乘除后加减”的计算法则，在学生看似“已经会”的情况下，教师面临的问题是：如何在看似“平淡”的“未学先知”的计算教学中组织学生参与、互动，并获得心智、能力以及数学思考的发展？现在的计算教学不再是单纯的程序性训练，每个学生所用的计算方法应该建立在学生深刻理解的数学观念的基础之上。教师在教学“先乘除后加减”的算法时应更重视促进学生从算理层面理解算法，这样学生对算法的掌握才不再是简单的模仿、机械的套用，而是理解后的应用。

（创设购物情境）

师：你们在二年级时就已经知道了，但现在是四年级，四年级的同学是会讲道理的。应该要怎么才能让我女儿明白先算除法是有道理的呢？同桌先商量商量。

（学生对照具体的购物经验，说出了为什么先算30÷2的道理。教师引导学生学会从“头”想问题。要求找回多少元，必须要先求出用去多少钱，因此先要算30÷2，求出一个的价钱）

师：我女儿又去了文具店。请看（出示墨水10元、文具盒7元、记事本3元、钢笔7元、毛笔5元、圆珠笔3元）

师：她会买什么呢？买的东西总价格列式为7+3×2，你猜她买了些什么？

生：一个文具盒、一本记事本和一支圆珠笔。

生：一个文具盒和2支圆珠笔。

……

师：请想一想，为什么先算3×2是有道理的?

生：因为要求总共花了多少钱，先要算出2件3元文具的价钱，然后再加上7元。

生：先算3×2就是先算3+3。

师：好，请用线段图把这个算式表示出来。结合线段图想一想还可以怎么列式？可以怎样计算？

生：7+3+3。

生：先用7加3等于10,10再加3等于13。

师：（出示：7+3+3+3+3+3+3）现在呢？你们是怎么算出来的？

生：因为这道算式里有6个3，所以先算6×3，然后再加上7等于25。

师：有不同算法吗？为什么都不从左往右连加呢？

生：太麻烦了！

师：对，先算后面的6个3简便多了。

师：（100-5-5-5-5-5 -5-5）这个算式呢？

生：100连续减去7个5，就是先把7乘5等于35，再用100减去35等于65。

师：对，这一题可以先算7个5，好，现在回过头看看7+3×2，你又会怎么说出先算3×2的道理呢？

生：3×2是2个3相加，先求2个3的和，再加7。

生：先求出2件3元的总价钱，再加上7元。

师：（小结）其实每一个算式背后都有一定的故事，而混合运算都是在讲述两个或两个以上的故事，乘法和除法都是在完成其中的一个故事。

从数学发展史上看，加减是数量变化的低级形式，也是运算上最基本的算法。先有了加减，然后在相同数递加或递减的基础上又产生了乘除。所以，乘法是连加同一数的简便算法；除法是递减同一数的简便算法。这就是说，乘除比加减已经高了一级，在计算效果上，也提高了一步。因此，为了简化问题，计算方便，就自然地产生了尽量先运用乘除的规定。

在这个案例的教学中非常好地做到了两点：其一就是让学生能够结合具体情境来理解“为什么要先乘除后加减”；同时更挖掘数学的本质内涵，引导学生能结合算式本身的意义来理解算理。具体来说就是先将情境抽象为线段图，再提升到乘除法的意义，一步步引导学生通过已学的知识分析、探讨，并解释新知算理，循序渐进地引导学生经历了从现象到本质，从局部到整体的过程，层层递进，深入理解运算顺序的规定是有其深层意图的。

对于数学中的规定，我们可以从数学知识发生发展的视角加以审视，从直接经验对学生学习的积极作用加以考虑。学生经过亲历数学规定形成与发展的过程，学会在思维活动中善于估计思维材料、检查思维过程，不盲从、不轻信，就能实现自我对思维活动各环节、各方面的调整、校正。

二、鼓励“生疑”追“理”，追溯思维的深刻性

心理学研究表明：学生思考的积极性和深刻性，往往来自于一个对他们来讲充满疑问的情境。因此，在课堂上有时我们可以故意留点疑问，露点破绽，或在讲解过程中设置误区，引起学生的质疑，尽量为学生提供发现问题的机会，促使学生思潮涌动、追根究底。

以《四边形的分类》一课为例。教师出示一个信封，让学生自由猜测，当学生猜可能是正方形、长方形、菱形、等腰梯形、平行四边形时，教师露出信封中图形的一个角，通过让学生观察，再猜信封里可能装的是什么图形？学生从最初的泛泛而问到提出要告诉“有几组对边互相平行”这一条件的补充，同时说清为什么需要这个提示，初步感知等腰梯形和平行四边形之间既有共同之处，又有本质区别。看似简单的猜测，实际背后却隐藏着丰富的思考。当学生根据两组对边互相平行的图形是平行四边形时，教师拿出的却是长方形，此时，学生又陷入了思维冲突中。教师适时抛出一个问题串：它是平行四边形吗？为什么？为什么又说是特殊的平行四边形？特殊在哪？这个长方形也要摆到黑板上去，应该摆在哪？为什么？继续猜下一个也是两组对边分别平行且四条边都相等，当学生根据提示都激动地抢答是正方形时，教师及时追问：正方形应该摆在黑板上的哪个位置？随着教师拿出的却是菱形，鼓励学生反思为什么猜错了。

我们可以将自己置身其中想想：假设自己作为学生，遇到这样的情境，以这样几个“为什么”的问题串作为思考的导向，将会收获什么呢？毫无疑问，在拥有了思考探索的空间后，充分经历了探究、思考、再探究再思考……一浪接着一浪的思维冲击！这样的“生疑”追“理”巧妙地认知了菱形、正方形、长方形、平行四边形之间的关系，同时大大地提升了数学思维水平。

研究证明，单纯的行为参与方式并不能促进学生高层次能力的发展，只有以积极的情感体验和深层次的思考为核心的学习方式，才能促进学生的主体发展。学生只有经常追问为什么，才有可能将问题的研究引向深入，才能触及数学的核心。宋朝朱熹曾经说过：“学贵有疑，小疑则小进，大疑则大进。”作为教师，首先要营造民主宽松的教学氛围，鼓励学生质疑问难；其次要引导学生有理有据地求证，帮助学生释疑解难。这样一来，学生就可以通过对教师、对他人、对自己、对教材的质疑，冷静地观照、审视数学知识，进而使得自己的思维走向深刻。

三、徜徉“多样”明“理”，激活思维的创造性

每个学生都是独立的学习个体，他们所拥有的生活经验、知识经验、思维经验不尽相同，这使得学生间的争鸣变得不可避免。马克思说：“真理是由争论确立的。”在数学教学中有意识地引入争鸣，能引发学生竞相迸发智慧的火花，闪现创新的光芒。

以《长方形的面积》为例，在通过测量长和宽计算出长方形的面积为20平方厘米并阐述理由之后，猜面积是20平方厘米的长方形还可以是怎样的形状，长可以是几？宽是几？

师：老师家里也有一个长方形，面积一样（20平方厘米），但形状不一样，猜猜看我家那个长方形的长和宽可能分别是多少？

生：长是20厘米，宽是1厘米。

师：你是怎么想的？

生：长是20厘米，宽是1厘米，面积就是20平方厘米。

师：你怎么知道面积是20平方厘米？说出你的道理。

生：摆一行，一行20个。

生：还可以长是10厘米，宽是2厘米。

（教师出示课件：）

师：我家的长方形很苗条，你觉得是哪个？为什么？我家的长方形的长有可能比20厘米还长吗？

生：不能，已经是20平方厘米，再摆下去就是21、22、23……已经是极限了。

生：能的，只要宽改成0.5厘米，长改成40厘米。

师：我家长方形的长有可能比40厘米还长吗？

生：有可能，长80厘米，宽0.25厘米。

生：只要把宽再变短，长就会更长。

师：那我家长方形的长会有多长？

生：把宽分下去，长可以很长很长，无法计算。

长方形面积计算的核心问题是“求长方形的面积为什么要‘长×宽’”，为了让简单的素材发挥最大的效益，以“猜面积是20平方厘米的长方形还可以是怎样的形状？”引领学生进行深度对话。作为教师，在课堂上沉下心蹲下身给更多学生发言的机会而不做过早的裁判，鼓励学生从不同的角度去观察问题、分析问题，学生在互动交流中重构面积推导的关键因素，不断地被推向了思维的“风口浪尖”，闪动创新之苗。

数学思维过程就是利用数学知识作“工具”解决问题的过程,我们应重视知识的形成过程，以有效活动为支撑，引导学生深思隐藏在数学知识背后的那些深层次的数学之“理”，努力实现学生对数学知识自我把握的确证与表征，从而有效促进“数学理解”，活化“数学思维”。