数学解题的认识与实践（上）

罗增儒



数学解题的认识与实践（上）

罗增儒

罗增儒，男，汉族，1945年1月生，广东省惠州市人，陕西师范大学教授、博导。曾先后担任陕西师范大学数学教育研究所所长、教务处处长等职务。中国数学奥林匹克首批高级教练。从事数学教学论、数学竞赛论、数学解题论的教学与研究。获国家级优秀教学成果二等奖1次，省级优秀教学成果奖4次，1994年10月起享受国务院政府特殊津贴，1999年获曾宪梓教育基金会全国高师优秀教师奖。

1.数学解题的认识

对于数学教师来说，再也没有比“数学解题”更熟悉的专业词汇了，再也没有比“解题教学”更平常的专业活动了。但是，什么叫题、什么叫解题、什么叫解题教学，我们都能说清楚、讲明白吗？说来见笑，我确实想了好多年都没有想清楚，确实曾经担忧会面临这样的尴尬：解了一辈子题，却说不清“什么叫解题”，教了一辈子书，却说不清“什么叫解题教学”。

1-1什么叫数学题

（1）界定。数学题（简称题）是指数学上要求回答或解释的事情，需要研究或解决的矛盾。

（2）解释。对数学家而言，仅当事情的真假未被判定时才成为问题，如哥德巴赫猜想，而一旦解决了就称为定理（公式），不成为问题了。这更多地体现了需要研究或解决的矛盾。数学教学中则把结论已知的事情也称为题，因为它对学生而言，与数学家所面临的问题相比，情景是相似的，性质是相同的。这时候的数学题是指为了实现教学目标而要求师生们解答的事情，重点在要求回答或解释上。

（3）基本要素。数学题的标准形式包括两个最基本的要素：①条件（已知，前提），②结论（未知，求解，求证，求作等）。条件是问题解决的起点，结论是问题解决的目标。问题的关键在于，达到目标对问题解决者来说存在一定的障碍。因此，问题具有目标性、障碍性和相对性，问题的实质是：从初始状态到目标状态之间的障碍，由现有水平到客观需要之间的矛盾（如图1）。

图1

（4）特别提示。有人认为，概念课、定理课的前半部分是讲概念、证定理，后半部分做的才是题。其实，如何构建概念、如何发现和论证定理也是题。

示例1.如何发现和论证定理是一道题。二次方程根与系数的关系，原先的教材是作为定理来学习的（韦达定理），课改被删去后，有的新教材将其编作课后习题，修订课标时又恢复了定理的身份。在这里，题与定理、定理与题并无严格的界线。

示例2.如何构建概念是一道题。初一的学生既学了有理数也学了直线，感觉两者没有什么共同的地方。如何构建有理数（无穷数集）与直线（无穷点集）的对应，从而建立起数轴的概念？这就是一道题。然后，根据有理数的结构（负有理数、0、正有理数），首先改造直线（主要是加上三要素：原点、单位和方向），再把0放在原点上，把正有理数放在直线的正方向上，把负有理数放在直线的负方向上（其中，整数放在格点上，两整数之间的分数放在相应两格点之间），建立起数轴，就是解了一道数学题。学生在这个数学活动中，学到了数轴的概念，感悟了集合与对应的思想，体验了数形结合的思想，经历了数学化的提炼过程，就是在学习解题，就是解了一道数学题，就是在通过学习数学去学会思维。

在这里，如何构建概念是一道题，构建出概念就是解了一道题，并且构建的方法可以不唯一，而怎样进行概念教学的方法其实就是一个宏观解题程序。

示例3.感悟公理本质思想也是题——体验两点确定一条直线。

第一、活动体验

活动1.请一个学生（甲）站起来，然后请其他学生自己确定，凡是能与甲同学共线的就站起来。（可以提问：你是怎么确定你该不该站起来的？你和他们不在一条直线上，你为什么站起来？）

小结：过一点的直线是不唯一的，所以每个同学都可以与甲同学共线。（参见图2，经过一点有无数条直线）

活动2.请两个学生站起来，然后请其他学生自己确定，凡是能与这两个同学共线的就站起来。（可以提问：你是怎么确定你该不该站起来的？什么是直？）

小结：两点确定一条直线，所以有且只有一斜排学生与这两个同学共线。（参见图3，经过两点有且只有一条直线）

活动3.请三个学生站起来，然后请其他学生自己确定，凡是能与这三个同学共线的就站起来。

（1）当三个学生共线时（图3）；

（2）当三个学生不共线时（图4）。

小结：经过三点可能有一条直线，也可能没有直线（图4中，三点不共线时不能确定直线，而不是“不共线的三点确定三条直线”）。

第二、数学感悟感悟1.由上述活动，你能感悟到什么数学结论？总结（直线公理）：经过两点有且只有一条直线（两点确定一条直线）。

感悟2.由上述活动和直线公理，你能感悟到直线有些什么样的本质特征？

直线的本质特征有：由无穷个点组成的一个连续图形，两端可以无穷延伸，很直很直等，但这些都难以严格定义。描述它们的一个办法是用公理来刻画，本节课中的直线公理：经过两点有且只有一条直线（两点确定一条直线），正是直线本质特征的一个刻画。试想，如果直线不是很直很直的，那么经过两点就可以连出很多的曲线。同样，如果直线不是两端可以无穷延伸的，那么经过两点的线段就可以延伸出长短不一的很多的直线来。所以，经过两点有且只有一条直线表明：直线是由无穷多个点组成的一个连续图形，两端可以无穷延伸，很直很直（应该能用公理解释直线，也能用直线解释公理）。

图2

图3

图4

示例4.如何寻找直角三角形的代数表示就是一道题，找出勾股定理及其逆定理就是解了一道题。从中可以增生直角三角形的运算功能（能根据直角三角形的部分元素计算出直角三角形的所有元素），可以感悟数形结合的数学思想、函数与方程的数学思想、转换与化归的数学思想、不变量的思想、分解与组合的数学思想、特殊与一般的数学思想等。这一过程，就是在学习解题，就是在通过学习数学去学会思维。这时，几何上的直角三角形与代数上的等式也合二为一了。

下面的设计没有体现这些思想：测量你的两块直角三角尺的三边长度，并将各边的长度填入下表。根据已经得到的数据，请猜想三边的长度之间的关系。

三角尺　直角边a直角边b　斜边c　关系

这个活动的设计值得商榷，一块任意的三角板，它的三边长很可能并非整数。学生猜想边长分别为3、4、5或者5、12、13的直角三角形三边的关系就已经不是件容易的事，比如，学生可以由32=4+5和52=12+13，猜想a2=b+c（还可能有的学生得出a整除b+c），更何况要猜想三个非整数之间的平方关系。这样处理，容易导致学生出现盲目的猜想和虚假的探究，在这盲目和虚假中知识夹生、变相填鸭和浪费时间。（注意，由a2=c2-b2=（c+b）（c-b），取c-b=1可知，有无穷个直角三角形，其三边满足a2=b+c）

1-2什么叫数学解题

（1）界定。解题就是解决问题，即求出数学题的答案。这个答案在数学上也叫做解。所以，解题就是找出题的解的活动。小至一个学生算出作业的答案，一个教师讲完概念的构建与定理的证明，大至一个数学课题得出肯定或否定的结论，一个数学技术应用于实际、构建出适当的模型等，都叫做解题。（如上所说，我们认为“概念的构建、定理的发现与证明”等都是在解题）

（2）解释。常规的数学题包括两个要素：条件与结论。解题就是沟通条件与结论之间的联系（论证），又包括解和解题依据（论据），因此解题一共有4个要素：①条件，②结论，③解（沟通条件与结论之间的联系），④解题依据。

1-3数学解题教学

作为数学教育的解题与数学家的解题是既有联系又有区别的。为了更好地理解这里面的关系，我们首先来说明数学家解题与教学解题的不同，然后指出解题教学是解题活动的教学。

（1）数学解题教学的初步认识。对职业数学工作者来说，题是研究的对象，解是研究的目标，解题是其数学活动的基本形式和主要内容，解题也是他的存在目的和兴奋中心。而对数学教学而言，并不是要把所有的学生都培养成职业数学工作者，更多的人是通过数学内容的学习、数学推理的训练、数学精神的陶冶、数学文化的哺育，开发智力、促进发展（通过数学学会思维）。因而数学教育中的数学解题不仅具有数学性质（与职业数学工作者有联系），还具有教育性质（与职业数学工作者有区别）。

①数学家解客观上结论未知的题，解题教学解客观上结论已知而学生主观上未知的题。

②数学家解题是发现和创造的过程，解题教学是师生再发现与再创造的过程。数学家创造数学概念，数学教师创造对概念的数学理解。

③数学家把题作为研究的对象，把解作为研究的目标，而解题教学不仅把题作为研究的对象，把解作为研究的目标，还把解题活动作为对象，把学会数学地思维、促进人的发展作为目标。

所以，解题教学的基本含义是，通过典型数学题的学习，探究数学问题解决的基本规律，学会像数学家那样数学地思维。

在数学解题研究中，教师研究的内容和方法（包括一题多解）不应该受到任何人为的限制，但教师研究的成果哪些能用于课堂、如何进入课堂等都要受到课程标准、学生水平等因素的制约。不能懂什么就教什么，也不能教什么就懂什么，应该是懂什么远大于教什么。

（2）解题教学是解题活动的教学。这至少有三个方面的含义。

①解题活动是一种思维活动。思维活动既有过程又有结果，思路探求主要反映思维活动的过程，解题答案主要反映思维活动的结果（同时也是认识深层结构的中间过程），而获得答案的实质是发现与发明的过程。

②解题教学不仅要教解题活动的结果（答案），还要呈现解题活动的必要过程——暴露数学解题的思维活动。没有过程的结果是现成事实的外在灌输，没有结果的过程是学习时间的奢侈消费。解题教学不仅要获得答案，还要从获得答案的过程中学会怎样解题，把过程与结果结合起来。

③暴露数学解题的思维活动有两个关键过程。其一是从没有思路到获得初步思路的认知过程（我们叫做第一过程的暴露），其二是对初步思路反思的元认知过程（我们叫做第二过程的暴露）。解题教学不仅要有第一过程的暴露（已引起重视），还要有第二过程的暴露（想知道很多又有很多不知道）。

但是，数学解题的思维过程到底是什么样的呢？目前还没有统一的理论认识，因而也就没有明确的实践指南，这直接导致了三个后果：

●很多愿意暴露数学解题思维过程的老师常常面临不知暴露什么或不知如何暴露的尴尬。

●更多教师的解题教学停留在题目这样解的层面，更多学生的解题学习停留在记忆模仿、变式练习的阶段（缺少自发领悟、自觉分析）。我们说，没有理解的练习是傻练，会越练越傻，没有练习的理解是空想，会越想越空。

●以解题为载体的数学考试常有大量不及格的学生（产生差生，或称为慢生、后进生、困难生、潜能生、希望生），数学教师在中学各门课程中付出最多而收效最低。

可喜的是，人们已经对数学解题的思维过程提出了很多看法（如解题推理论、解题化归论、解题差异论、解题信息论、解题系统论、解题坐标系等），百花齐放的解题观点其实就是人们对数学解题思维过程的努力描述。

1-4数学解题在数学教育中的重要性

解题能力是中学数学教师的一个核心竞争力，数学解题是教师发展平台的一个专业制高点。中学教师要提高核心竞争力，占领专业制高点，就要成为解题专家。解题在数学学习中的重要性至少有以下三个方面。

（1）数学解题是数学学习中不可或缺的核心内容，数学解题的思维实质是发现数学。

●解题是一种认识活动，是对概念、定理的继续学习，是对方法的继续熟练，是对思想的继续领悟，而不仅仅是规则的简单重复或操作的生硬执行。

●寻找解题思路的过程就是寻找条件知识与结论知识之间逻辑联系或转化轨迹的过程。在这个过程中，我们激活知识、检索知识、提取知识、组织知识，使解题与发展同行。

●当解题由一个步骤推进到另一个步骤时，其实就是知识点之间的联系与生成；当解题由一个关系结构对应到另一个关系结构时（比如由形到数或由数到形），其实就是关系结构之间的联系与生成；当解题并列着多个解法时，其实就意味着产生不同解法的知识点之间存在逻辑联系或对应关系。

●如果说数学教育包含数学与教育的话，那么数学学习中真正发现数学的地方都一无例外地充满着数学解题活动。如上所说，概念的抽象概括、定理的发现证明、习题的探究解答、知识的实际应用等都是在解题。尚未出现解题的数学学习总给人一种尚未深入到实质或尚未进入到高潮的感觉：人们会问，这是数学吗？这是在学数学吗？再说了，我们的青少年需要那种缺少数学概念、缺少数学定理、缺少数学习题、缺少数学应用的数学吗？

上述几个示例已经表明，把解题仅仅理解为形式化习题的推理演算，既缩小了数学问题的外延，又缩小了数学解题的外延。这是一种认识的自我封闭和解题功能的自我削弱。

（2）数学解题是数学学习中不可替代的实质性活动，解题活动的核心价值是掌握数学。

●如果说学生的数学活动可以有多种形式的话，那么解题就是一种最贴近数学思维的实质性活动。概念的生成、定理的理解、技能的熟练、方法的掌握、能力的发展、数学语言的熟悉、数学思想的领悟、数学观点的培养、数学意识的形成、数学文化的积淀等都离不开解题实践活动。没有勤奋而得法的解题训练谈不上掌握数学！解题活动是掌握数学、学会数学地思维的关键途径。

●解题不等于数学，数学不仅仅是解题。我们还应该有解题之外的更多的数学活动，甚至还应该追求更远大、更人文的数学目标。然而，谁要是由此隐喻：疏于解题也能学好数学、不深入数学也能领会数学精神的话，那谁就是在误解数学、离开数学，始作俑者是给数学来了个釜底抽薪。

（3）数学解题是能力评价时不可削弱的主体构成，解题测试的基本理念是呈现数学。

●通过解题水平来看数学思维水平由来已久，尽管不应视为唯一的方法,也是当前用得最多、操作最方便、公众认可度最高的重要方法。课堂内容的掌握情况主要通过包括解题在内的练习、作业和考试来检测，学业水平、升学选拔、能力竞赛等基本上都通过解题来评定。测试量表、对话访谈、论文答辩等评价形式亦离不开解题。大量的事实表明（包括中考），解题水平与数学思维水平之间存在中度正相关。

●如果说当前的很多解题测试还存在重知识、轻能力弊端的话，那也不是因为用了解题测试这种方式，而是如何用好这种方式的问题。数学工作者中有解题能力强而数学成就不大的，但没有数学成就大而解题能力不强的，这也主要不是解题测试的毛病，而是：{数学成就大}只能是{解题能力强}的子集。

（待续）

思想