原汁数学：学真数学 做真思考

●涂玉霞



原汁数学：学真数学做真思考

●涂玉霞

涂玉霞工作室是黄冈市首届十大名师工作室，由武穴市各中心学校的18位骨干教师组成。

工作室主持人涂玉霞是湖北名师、特级教师，长期致力于“原汁数学”教学研究，该研究成果获得湖北省首届校本教研创新成果一等奖。2013年，涂玉霞出版个人专著《原汁数学教学随笔》。

“原汁”指用肉类、蔬菜、水果等直接榨出的汁液，或食物原料掺以少量的水而熬出的汁液。“原汁”的实质是不掺杂其他成分，具有真价值。原汁数学的根本要义是把握数学的本质，引导学生学真数学，做真思考，形成真正的数学素养和能力，其教学内涵体现在五个方面。

一、数学原型：生活和经验

数学的学习资源来自于现实生活或学生已有的经验。数学教学是对之进行分析、澄清、引导、回应，使学生实现对知识的创造性转换、沟通、交融的过程。这样的一个过程，可以看作儿童对知识原有基础的发展或转变，而不是新信息的点滴累积。

1.生活情境：具有探究的意义

谈到数学生活化，很多教师以为就是从生活中找到一些相关数据或者随便编造一个故事情境，并运用于教学之中。这种理解是不够准确的。学习最大的快乐在于学习者在解决问题的过程中发现了自己的智慧，因此，教师要尽量提供具有现实意义的问题让学生去探究，以培养学生用数学眼光观察世界的能力。

2.借助经验：找准发展的区域

维果斯基的“最近发展区理论”认为，学生的发展有两种水平：一种是学生的现有水平，指独立活动时所能达到的解决问题的水平，另一种是学生借助成人或更有能力的伙伴的帮助所能达到的水平，两者间的差异就是最近发展区。教师设计的教学问题如果能紧紧扣住学生的“最近发展区”，就容易暴露学生的前概念，从而引发认知冲突并衍生新知识。

教学人教版课标实验教材四年级下册的“中括号”时，教师设计了“听指令，加括号”游戏：出示算式“96÷12+4×2”，要求学生按教师指令改变它的运算顺序。第一个指令：先算加法，再算除法，然后算乘法；第二个指令：先算加法，再算乘法，然后算除法。学生根据第一个指令，顺利写出了算式“96÷（12+4）×2”。在完成第二个指令时，学生写出了很多答案，典型的有“96÷（12+4）×2)”和“96÷（12+4×2)”两种。教师让学生讨论，“你们完成指令了吗？这样加括号会有什么问题？”从而引导学生得出了正确算式“96÷[(12 + 4)× 2]”。最后，教师引导学生思考：加入的新括号叫什么名字？它有什么作用？

这个教学环节，教师通过设置障碍，巧妙地引出了中括号，并让学生直观地感受到了它产生的意义。教学中的每一次猜想、否定、改进，都闪现出创新思维的火花。

二、数学原委：建模、用模

原委即原由、结尾，泛指事情的来龙去脉。学数学就是学建模和用模，即把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该模型所提供的解答来解释现实问题。

模型思想要在建立模型的过程中培养。实际研究中，我们将发展学生的建模思想提炼为三个方面：①假设模型——生活问题转化为数学问题；②证明模型——数学问题转换为核心问题；③运用模型——核心问题转变为解决问题。

学生只有将生活问题转化为数学问题，才能建立数学与现实世界的联系。建立联系的过程是学生尝试的过程，也是学生否定与优化的过程。教师要引导学生将生活问题转化为几个数学问题，并运用合情推理进行判断和比较。

学生只有将数学问题转换成核心问题，才能意识到问题中的数学实质，并对假设的模型进行证明，阐述这样做是有道理的。在证明过程中，学生会意识到问题的关键是什么。

运用模型是把模型放在现实背景中，思考其在现实背景中的具体含义，分析其中的数量关系，制订解决问题的步骤和方案。这个过程中，学生再次回到了生活，所不同的是审视现实问题的眼光不一样了。这正是生活眼光与数学眼光的区别，这样的变化源自走实了建模过程。

三、数学原理：在数形之间

原理指自然科学和社会科学中具有普遍意义的基本规律。数学的基本规律是研究数量关系和空间形式。数学大体上就是在数与形这两个概念的提炼、演变、发展中逐步展开的。数形结合就是把抽象难懂的数学语言、数量关系与直观形象的几何图形和位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，使相对复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，从而优化解题方法。

1.在教学中使学生逐步养成画图习惯

数学教学应该有这样的导向：能画图时尽量画。这样能将相对抽象的思考对象“图形化”，尽量把问题、计算、证明等数学过程变得直观。直观化后就容易展开形象思维，因为逻辑的、形式的结论都是在形象思维的基础上产生的。例如，利用长方形模型来教学分数乘法的算理（图1），利用线段图来帮助学生理解分数除法的算理（图2），利用面积模型来解释两位数乘两位数的算理（图3）、乘法分配律（图4）等。

图1

图2

图3

图4

2.学会从“数”与“形”两个角度认识数

数形结合最初是对知识、技能的融通式理解，后来逐渐发展成一种对数与形之间的化归与转化的意识。这种认识和运用，是必须要求学生形成的正确的数学态度。

如，4+7+10+13+16+19+22……+100+103的求和公式是（首项+末项）×项数÷2。首项是4，末项是103，首尾两两相加都相等。这很好懂，但是有多少个这样的数呢？虽然有求项数的公式：（末项－首项）÷公差+1，但靠死记硬背公式去计算，学生对算理并不理解，因而难以灵活运用。教师如果把它转化成植树问题去理解，等差数列求和类问题就会迎刃而解，如下图（箭头表示小树）。

教师告诉学生，这就是一条路，并提问：如果我们把4看成是第4米，7就是第7米，那么能不能看图编一道植树问题的题目？一名学生回答：从第4米的地方开始植一棵树，每隔3米植一棵，植到第103米，一共植了多少棵树？另一名学生随即做出解释：这就是从头到尾栽树的情况。因为树的棵树=总长÷间隔长+1，所以算式是（103-4）÷3+1=34。

植树问题还可以转化为等差数列去思考（方法略）。知识之间的关节打通后，就会带来方法的共融。

四、数学原本：抽象、转化和推理

“原本”指本来的样子。数学本来是要做什么？提供具体的问题情境，让学生利用抽象、转化和推理的方法发展思维能力。说具体点，就是发现实际问题中的数学成分，并对其做符号化处理，从而把实际问题转化为数学问题；对符号化的问题做进一步的抽象化处理，以推理方式尝试建立和使用不同的数学模型，并将其发展为更完善、合理的概念框架。

1.抽象要实现理性上升

从感性具体上升到理性具体的思维过程是第一次抽象。学习者可以在此基础上，凭借想象和类比进行第二次抽象，得到那些并非直接来源于现实的数学概念和运算方法。

比如，要让学生经历“在同一个圆内，所有的半径都相等”这个抽象结论的概括与迁移过程，教师可以设计以下教学环节：第一，让学生画出一个圆的多条半径，并量一量它们的长度。第二，比一比这些半径的长度。比如，量出的长度都是3厘米，也就是说这是一个半径是3厘米的圆，这样就可以得到“在这个圆中，量出的这些半径的长度都是3厘米，它们的长度都相等”的结论。第三，进而猜测，得出“这个圆内还没有量出的半径，长度也都是3厘米”或“这个圆内所有半径的长度都相等”的结论；再画出几条半径，量一量，比一比，验证猜测的结论是否正确。第四，想一想，为什么会有这样的结论？或者说，为什么这个圆中的所有半径都会相等？可以联系刚才的度量，以及用圆规画圆时两脚尖之间的长度始终保持不变，或者根据圆的本质属性等来解释结论的正确性。第五，进一步猜测得出“在任何一个圆中，所有的半径都相等”这样的结论；再另外画圆，并度量半径，验证这个结论。第六，进一步想象、感悟这个结论的正确性。

2.推理要有法可依

逻辑推理主要有两种形式，一是归纳推理，一是演绎推理。归纳推理是命题内涵由小到大的推理，是一种从特殊到一般的推理。比如，推算三角形的内角和时，我们经过论证，发现钝角三角形、锐角三角形、直角三角形的内角和都是180度，三角形按角分，只有这三类，所以可以推算出三角形内角和是180度。演绎推理是命题内涵由大到小的推理，是一种从一般到特殊的推理，通过演绎推理得到的结论是必然的。演绎推理的核心方法是三段论。

我们知道，数学的真实发展历程并非是演绎的，而是先归纳后演绎。因此，为了还数学本来面目，现行数学教材的编写并没有一味地采用演绎体系。

3.转化，最大限度实现学习高效

转化是通过某种方式将一个新问题变成旧知识进行解决的思想。它可以从语言描述向图形表示转化，可以从语言表达向符号形式转化，还可以是每一种情况反转的转化。数学教师的每次新授都是在帮学生找到一个转化点，或把未知条件转化为已知条件，或把一个综合问题转化为几个基本问题，或把顺向思维转化为逆向思维。转化的过程中，要努力实现学习迁移，特别是原理和态度的迁移，从而较快地提高学生的学习质量和数学能力。

五、数学原则：严谨有理

严谨表现为两个方面，一是思维的严密性，一是论证的严密性。在数学中，思维的严密性表现为思维过程服从于严格的逻辑规则；考察问题时严格、准确；进行运算和推理时精确无误。数学是一门具有高度抽象性和精密逻辑性的科学，论证的严密性是数学的根本特点之一。

1.充分利用直观感知，加强变式练习

根据小学生的年龄和认知特点，教学时宜利用各种直观手段，促使学生形成认知结构；在进行不完全归纳时，要兼顾例证的数量与质量。实际教学中，教师应通过变式练习突出概念的本质，区分易混淆的概念、知识，帮助学生克服思维定势的消极影响。

2.创设教学情境时要符合教学的严谨性要求

教师在选择提炼和再现生活场景时，要使之符合数学的严谨性要求。

前些日子，笔者参加一项研究课比赛活动。三位教师同课异构，教学内容是人教版课标实验教材五年级上册《组合图形的面积》。教材中的例题如下：

讲课教师无一例外地让学生分组讨论：可以用哪些方法求出图形的面积。学生思维活跃，想出了种种方法：分割法。把图形分割成一个三角形和一个正方形，算式为5×5+ 5×2÷2；或者分割成两个相等的梯形，算式为（2+5+5）× 5÷2。添补法。把三角形上面进行添补，变成一个长方形，然后减去添补的面积，算式为（2+5）×5-5×2÷2。还有割拼法，把组合图形分割成两个相同的梯形，然后把另一个梯形旋转，移上去，拼成一个平行四边形或者一个长方形，等等。

虽然学生的思维都很活跃，但我始终感到很纳闷：居然没有一位老师和一位学生对教材提出异议。教材呈现小男孩的话：“也可以把它分成两个完全一样的梯形来计算。”这句话的依据在哪里？我们知道，只有当上面的三角形是等腰三角形时，这句话才成立。题目给了这个条件吗？没有！教师引导学生测量验证了吗？也没有！既然都没有，我们怎能理直气壮地用眼花缭乱的方法来求出组合图形的面积呢？这不就是一种典型的假繁荣吗？

教师要等学生提出多种方法后，提醒他们注意学习的严谨性，要求他们量一量，看是不是等腰三角形。我觉得，这才是学数学的态度；似是而非，在数学中是非常不可取的。

（作者单位：武穴市师范附属小学）