水下量子通信的数值模拟及误码率分析❋

赵士成， 史　鹏， 李文东， 顾永建

(中国海洋大学信息科学学院， 山东 青岛 266100)



水下量子通信的数值模拟及误码率分析❋

赵士成， 史鹏， 李文东， 顾永建❋❋

(中国海洋大学信息科学学院， 山东 青岛 266100)

摘要：水下量子密钥分配可以为水下通信提供绝对安全的保密手段。本文采用蒙特卡洛方法，结合海水信道的光学性质和光子的量子特性模拟了光子在海水中的传输过程，研究其衰减和偏振特性，计算了接收到的光子数随接收端口径、视场角和传输距离的变化，从保真度的角度分析散射光的偏振变化情况，并结合背景光的影响分析了水下量子通信误码率。结果表明，水下量子通信理论上可以实现百米量级的安全通信。

关键词：量子通信；蒙特卡洛模拟；保真度；海水信道；量子误码率

ZHAO Shi-Cheng, SHI Peng, LI Wen-Dong, et al. Simulation and QBER analysis of underwater quantum communication[J]. Periodical of Ocean University of China, 2016, 46(2): 131-137.

在水下传感网络、潜艇、各种水下航行器等水下系统通信需求的强烈驱动下，近年来水下无线光通信技术得到了迅速发展，水下量子密钥分配技术可以为其提供绝对安全的保密手段。1984年Bennett和Brassard[1-2]提出了第一个安全的量子密钥分配协议——BB84协议，之后又成功完成第一个量子密钥分配实验[3]，开创了量子密码理论和实验的先河。随后，量子密码在理论和应用方面都得到了蓬勃发展。作为最基本的量子密钥分配方案，BB84协议安全性已经被证明[4-6]，自由空间量子密钥分配距离达到144km[7]。自由空间中的量子通信发展已经较为成熟，趋于实用化，而国际上水下量子通信的研究则刚刚展开，美国ITT公司[8]对水下量子通信的可行性做出了论证，但国内尚未开始进行水下量子通信的研究。

光作为信息载体速度快、效率高，但对于水下通信，由于其信道是海水信道，其衰减比在自由空间中严重，传输距离也将受到限制。经典的水下光通信研究中，Sermsak Jaruwatanadilok[9]研究了海水信道对通信的影响并对光的偏振变化情况做出了相关研究，但考虑到光子的量子特性，其研究并不能完全适用于水下量子通信。水下量子通信中，信息载体是单光子，单光子与海水中颗粒物质作用后，每次作用光子都将概率性的被吸收，此外，海水中颗粒物质可以认为是随机分布[10]的，处理随机性问题一般采用蒙特卡洛方法。基于以上背景，本论文结合海水信道的光学性质和量子力学基本原理，对水下量子通信中的偏振光子进行了蒙特卡洛模拟，研究了偏振光子在海水信道中的传输特性并对水下量子通信的误码率进行了分析。

1信道模型与分析方法

水下量子通信可以为水下通信提供绝对安全的保密手段，水下量子通信的示意图见图1。

图1　水下量子通信示意图

1.1 海水信道

光在海水中传输将会由于和海水相互作用而衰减，因而，光在海水中的传输距离受到限制，但对于蓝绿波段的可见光[11-12]而言，其衰减作用则相对较弱，本文主要研究此波段的光在受到海水的吸收和散射作用时的传输特性。真实的海水成分复杂，但根据其对光的作用不同可将海水中光学性质重要的成分作如下划分：对吸收起主要作用的是纯海水、浮游生物、有机碎屑和黄色物质；对散射起主要作用的是浮游生物、矿物质和碎屑。

考虑到在不同水体中光的衰减程度也会不同，研究水下量子通信，参考Underwater communication一书中列出的波长480nm的光在3种Jerlov型水体(I,II,III)的光学性质进行研究，对于这3种水体480nm波长的光衰减系数分别为0.03、0.18、0.3m-1。观测表明，通常采用一粒径分布函数就可以描述海水中光学性质重要的粒子，其表达式如下[10]：

(1)

式中：D0是参考直径；K是直径为D0的粒子数密度，对于不同的粒子，各参数的取值也会不同。对于海洋颗粒物来说，ε的取值一般其值在2～5之间，典型值在3～4之间。为了使模型简化，本文做了一个基本假定——研究的粒子均为球形粒子；此外为了简化计算，在程序中将海水及其溶解物对光子的影响和粒子对光子的影响分别计算。

研究中需要考虑环境光的强弱，本文研究的背景光主要考虑从海面入射的环境光。根据海水的深度不同有如下公式[13]：

(2)

1.2Mie散射理论

斯托克斯矢量可以完全描述一个光子的偏振，可以用以下表达式来描述[14]：

(3)

(4)

(5)

(6)

公式中下标表示散射次数。

1.3 量子误码率和保真度

误码率是量子通信的一个重要参数，误码率的大小反应了通信的安全性。对于BB84协议，在仅考虑背景光和散射光时，计算误码率的公式如下[8]：

(7)

式中：Ω是探测器的立体角；h是普朗克常量；N1是衰减后剩余的光子总数；N2是散射噪声；Δλ是谱线宽度；Rd是环境辐照度；c是光速；Δt是脉冲周期；Δt'是开门时间；A是探测器面积，N1和N2。通过程序模拟求得。

(8)

保真度的范围在0～1之间。保真度为0意味着这2个态正交；保真度越接近于1，表明这2个状态相似程度越高，当保真度为1时，这2个状态相同。

2水下量子通信中光传输的Monte Carlo模拟

2005年，Jessica C. Ramella-Roman等人介绍了3种矢量蒙特卡洛模拟方案[17]，其中欧拉蒙特卡洛方法在散射时候对斯托克斯矢量旋转次数少，大大减少了计算量，我们根据海水中粒径分布和光子散射时候的量子效应对其做了修改，并用修改后的程序模拟了光子在海水信道中的传输过程，具体的模拟流程见图2。

图2　蒙特卡洛模拟流程图

2.1 发射光子和确定散射步长

初始时刻假定光子沿着Z轴正方向(0,0,1)入射，初始位置为(0,0,0)，确定一个初始参考平面(例如XOZ)，入射Stokes矢量s。根据该参考平面规定。光子在介质中传播时满足以下公式：

N=N0e-(ua+us+um)l。

(9)

式中：ua,us和um分别代表粒子的吸收系数、粒子的散射吸收和海水(包括溶解物)的吸收系数；l是传输距离；N0是初始时刻发射的光子数；散射步长ΔL为：

(10)

P是(0,1]之间的随机数，每产生一个散射步长，该光子在此处碰到粒子。

2.2 确定发生碰撞的散射体

(11)

根据此概率可以对碰撞粒子进行抽样，确定与光子相互作用的粒子参数。

2.3 散射角和方位角

Mie理论的一个基本问题就是散射角和方向角的确定，在本程序中是通过舍选法根据散射相函数求得散射角和方位角，散射相函数[18]为：

(12)

舍选法选择散射角和相位角的过程是：利用随机数程序随机的产生一个0～1之间的数Pr，一个0～θ之间的随机角度θ和一个0～φ之间的角度φ，如果这2个角度满足Pr≤P(θ,φ)，则认为该角度θ是本次散射的散射角，φ是本次散射的方位角；如果Pr≥P(θ,φ)，则重新产生一个随机数和2个随机角度进行比对，直至产生合适的角度。

2.4 传输终止的判定

定义权重因子W=μs/(μa+μs)，表示的是光子在碰撞时的生存几率。在本文中，根据量子力学判断光子在碰撞时是否被吸收[13]，每次光子和粒子相互作用时，光子都有一定的概率被吸收，在程序中处理过程如下：产生一个随机数P和W进行比较，如果P>W，则光子被吸收；如果P

(13)

根据光子打在探测器的位置和方向判断该光子是否在探测器允许的范围内，若是，则记录数据，如不是，则不记录数据，发射下一个光子，直至发射到最后一个光子。

3结果和讨论

本文通过蒙特卡洛模拟程序研究了光子在一类水体中的传输特性，考虑到一类水体颗粒物中浮游生物占大多数，为简化计算，模拟参数主要参考浮游生物的参数；另外，由于黄色物质的主要来源是陆生植物[10]，因而在研究开阔大洋中的光传输时也不考虑黄色物质的影响。主要模拟参数见表1。

表1　关键模拟参数

Note：①Wavelength;②Refractive index of the particle;③Number of launched photons;④Index of particle size distribution;⑤Range of particle size distribution

3.1 光的衰减

首先模拟了在3种不同浑浊度的海水中光的衰减情况，模拟结果见图3。光子在海水中传输，随着距离增加探测到的光子数在不断减少，对于不同浑浊度的海水，最大的传输距离也不相同，对于Ⅱ和Ⅲ的2种海水传输至30和20m处时几乎接收不到光子，因而，为了保证通信距离，主要考虑在清澈海水中光子的传输情况。但对于最清澈的海水量子通信的传输距离也被限制在百米量级，在传输距离为100m处，接收到的光子数为发射光子数的4.9%左右，这和理论值5%也很接近。

图3　光子数随距离的变化

图4　光子数随孔径的变化

图5　光子数随视场角的变化

此外，研究了光子数随接收端口径和视场角(FOV)的变化。图4和5是传输至60m处光子数随口径和视场角的变化，从图中数据可以看出，虽然光子数随着口径和视场角的增加呈增加趋势，但是其增加程度很低，探测器直径从4cm增加至50cm时，光子数增加量最大约为8%；视场角从174mrad增加至522mrad时，光子数增加量最大约为1%，并且视场角增加到一定程度后，曲线趋于平缓。因此可以认为，口径和视场角大小对成码率有影响，但影响结果并不明显。因此在进行水下量子通信选择口径和视场角时，应主要考虑口径和视场角对误码率的影响。

3.2 保真度

光子发生散射以后，其偏振态会发生变化，散射光子将会带来误码，故研究散射光的状态变化情况对于分析误码率是十分必要的，对于接收到的光子状态变化，本文从保真度的角度来研究。图6是研究保真度随着传输距离(探测器直径为20cm，视场角为174mrad)的变化情况。

从图6可以看出，光子的保真度接近于1，说明接收到的光子状态和光子初始状态近似相同。分析结果出现的原因：首先，探测到光子大部分是未经散射的；其次，散射光子中绝大多数发生一次(超过99%)小角度散射就被探测到。可以得出以下结论：对于本文研究的水下量子信道模型，散射光子的偏振态变化不大，误码的来源应主要考虑背景光。

3.3 误码率

研究在几种不同的天气情况下(1晴朗天气，满月；2晴朗天气，仅有星光；3阴天夜间)海水信道中(深度选为200m)量子通信误码率的变化情况。模拟程序中激光器参数选择如表2所示[8]：环境福照度根据Light and Water[13]一书中所列的辐照度对于满月的晴朗天气Rd(0)=1×10-3W·m-2，对于晴朗星空Rd(0)=1×10-6W·m-2，对于阴天夜间Rd(0)=1×10-7W·m-2。

图7描述了在3种不同天气情况下误码率随着口径和视场角的变化情况。从图中可以看出：散射光引起的误码率数几乎为0，远远小于背景光对误码率带来的影响；在考虑到背景光之后，误码率的变化随着口径和视场角增加相当明显，当口径和视场角到达一定值以后，由于误码率过高，通信的安全性已经无法得到保证，而考虑到口径和视场角对光子数目的增加影响并不是特别明显，因而在进行水下量子通信的时候，以小视场角和小口径为宜。

对于BB84协议，当误码率小于25%时，通信对于简单的拦截-重发攻击是安全的；误码率小于10%时，通信是绝对安全的[17]。

表2　误码率计算参数取值

Note：①Wavelength bandpass;②Solid angle;③Wavelength;④Gate time;⑤Bit peniod;⑥Fov

图6　保真度随距离的变化

图7　误码率随探测孔径和视场角的变化

图8是在接收端半径5cm，视场角为174mrad条件下模拟所得的误码率随距离变化的曲线，可以看出，对于阴天夜间这种天气条件，量子通信的误码率在距离为130m处为8.45%，此时可以进行绝对安全的量子通信；对于晴朗天气下仅有星光的天气，量子通信在60和105m处的误码率分别为10%和24.4%，在60m处进行通信是绝对安全的，在105m处进行通信可以抵抗简单的拦截-重发攻击。

图8　误码率随距离的变化

4结语

本文结合海水信道的光学性质以及光子与粒子作用时的量子效应，对标准的蒙特卡洛算法进行了必要的修改，通过修改后的蒙特卡洛算法模拟了偏振光子在海水中的传输过程。考虑到光子的衰减情况，以清澈海水为例，计算了光子的衰减情况和偏振态变化情况，并研究了在几种不同天气情况下的误码率。对于本文研究的水下量子信道模型，由于海水的吸收作用，水下量子通信的距离被限制在百米量级；随着口径和视场角的增加，探测到光子数的增加并不太明显，但是在考虑到背景光的影响之后，其对误码率的影响则相当严重，因而水下量子通信中，应以小口径和小视场角为宜；在小口径和小视场角的条件下，信道中粒子散射引起的光子偏振态变化很微弱，其对误码率几乎没有影响；通过对误码率的分析，当背景光较弱时(如夜间)，在清澈的海水中进行量子通信,理论上可以实现百米量级的安全通信。

参考文献：

[1]Gisin N, Ribordy G, Tittel W, et al. Quantum cryptography[J]. Rev Mod Phys， 2002, 74:145-195.

[2]Bennett C H, Brassard G. Quantum cryptography: Public key distribution and coin tossing[C]. New York： Proceedings of the IEEE International Conference on Computers, Systems and Signal Processing, IEEE, 1984,1:175-179.

[3]Bennett C H. Experimental quantum cryptography[J]. Journal of Cryptolog, 1992，5： 3-28.

[4]Lo H K, Chau H F. Unconditional security of quantum key distribution over arbitrarily long distances[J]. Science, 1999,283, 2050-2056.

[5]Shor P W, Preskill J. Simple proof of security of the BB84 quantum key distribution protocol[J]. Physical Review Letters, 2000,85, 441-444.

[6]Gottesman D, Hoi-kwong, Lo Lülkenhus N, et al. Security of quantum key distribution with imperfect devices[J]. Quantum Information and Computation, 2004, 4: 325-360.

[7]Tobias S M, Henning W, Martin F, et al. Harald, Experimental demonstration of free-space decoy-state quantum key distribution over 144 km[J]. Phys Rev Lett， 2007， 98： 010504.

[8]Lanzagorta M. Underwater Communications[M]. California： Morgan & Claypool， 2013.

[9]Jaruwatanadilok S. Underwater wireless optical communication channel modeling and performance evaluation using vector radiative transfer theory[J]. IEEE, 2008, 26(9): 1620-1627.

[10]李景镇. 光学手册[M]. 西安： 陕西科学技术出版社， 2010.

JingZhen Li, Handbook of Optics, Shaanxi science and technology press. 2010.

[11]Pope R M, Fry E S. Absorption spectrum (380-700 nm) of purewater. II. Integrating cavity measurements[J]. Applied Optics, 1997, 36: 8710-8723.

[12]Apel J R, Principles of Ocean Physics[M]. Suffolk, UK: Academic Press, 1987.

[13]Curtis D. Mobley, Light and Water Radiative Transfer in Natural Waters[M]. Pittsburgh： Academic Press, 1994.

[14]Ishimatu A. Wave Propagation and Scattering in randon Media[M]. New Jersey： Wiley-IEEE press, 1999.

[15]Bohren C, Huffman D R. Absorption and scattering of light by small particles[M]. New Jersey： Wiley-Interscience, 1998.

[16]Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information[M]. Cambridge： Cambridge University Press, 2010.

[17]J Ramella-Romans, Prahl S, Jacques S. Three Monte Carlo programs of polarized light transport into scattering media: Part I[J]. Opt Express, 2005, 13: 4420-4438.

[18]Bartel S, Hielscher A H. Monte Carlo simulations of the diffuse backscattering Mueller matrix for highly scattering media[J]. Applied Optics, 2000, 39(10):1580-1588.

责任编辑陈呈超

Simulation and QBER Analysis of Underwater Quantum Communication

ZHAO Shi-Cheng, SHI Peng, LI Wen-Dong, GU Yong-Jian

(College of Information Science and Engineering, Ocean University of China, Qingdao 266100, China)

Abstract:Underwater quantum key distribution (QKD) can provide absolute security for underwater communication. In this paper, we study the attenuation and depolarization of photons propagating underwater with Monte Carlo method, based on the Mie scattering theory and the vector Radioactive transport theory and combined with the optical properties of ocean and the quantum properties of photons. Firstly, we set up an ocean channel modeling. The ocean water in our model is considered as the mixture of pure seawater and some kinds of particles meeting a certain particle size distribution, and the effects of ocean on the photons that we mainly consider are absorption and scattering. The absorption will mainly affect the number of detected photons and the scattering will affect both the number and the polarization states of the detected photons. Secondly, we simulate the transmission of photons in the clearest ocean when the attenuation coefficient is 0.03/m. Because bit rate and quantum bit error rate (QBER) are two important parameters in QKD, we then investigate the varying of the number of detected photons, which will directly affect the bit rate, with the distance, aperture and field of view(FOV) of the detector, and we analyze the depolarization of the detected photons, which will directly affect the QBER. Finally, we study the QBER of underwater QKD when background noise is considered. Our simulation results show that, because of the effect of water, the transmission distance is limited at a level of 100 meters, where the number of detected photons will keep around 4.9% of the initial one, which is close to the theoretical result, 5% . When the distance is 60m, the number of detected photons increase by at most about 8% as the aperture of the detector increase from 4cm to 50cm and by at most about 1% as the FOV increase from 174mrad to 522mrad. When the aperture of the detector is 20cm and the FOV is 174mrad, the fidelity of detected photons keeps close to 1, which means that the polarization states of most of the detected photons keep unchanged or change a little. When we consider the effect of background noise on the QBER under the condition that the aperture of the detector, FOV and the irradiance is 5cm, 174mrad and 1×10-6Wm2separately, the QBER is 10% at the distance of 60 meter, which is absolutely secure for any kind of attack, and 24.4% at the distance of 105 meter, which is able to resist intercept and re-send attack. Our conclusion is that when background noise is weak it is theoretically feasible to have absolutely secure underwater QKD up to about 60m in the clearest ocean and secure against simple intercept and re-send attacks up to more than 100m in the same type of ocean water.

Key words:quantum communication; fidelity; Monte Carlo simulation; ocean channel; Quantum Bit Error Rate(QBER)

DOI：10.16441/j.cnki.hdxb.20140121

中图法分类号：O4-39；O43；P733.3+2

文献标志码：A

文章编号：1672-5174(2016)02-131-07

作者简介：赵士成(1987-)，男，博士。E-mail：zhaosc1987@126.com❋❋通讯作者： E-mail:guyj@ouc.edu.cn

收稿日期：2014-04-09；

修订日期：2015-07-12

基金项目：❋ 国家自然科学基金项目(60677044；11005099)；中央高校基本科研业务费专项资金(201313012)资助

引用格式：赵士成， 史鹏， 李文东, 等. 水下量子通信的数值模拟及误码率分析[J]. 中国海洋大学学报(自然科学版)， 2016, 46(2)： 131-137.

Supported by Natural Science Foundation of China(60677044；11005099); The Fundamental Research Funds for the Central Universities(201313012)