基于回归分析的太阳影子定位技术研究

陶　超，虞　芳，鲍远娟，徐　凤

（1.安徽财经大学　统计与应用数学学院；2.安徽财经大学　金融学院，安徽　蚌埠　233000）



基于回归分析的太阳影子定位技术研究

陶超1，虞芳2，鲍远娟1，徐凤1

（1.安徽财经大学统计与应用数学学院；2.安徽财经大学金融学院，安徽蚌埠233000）

摘要：本文针对太阳影子定位，使用回归分析、多项式拟合等方法，分别构建由太阳影子顶点坐标数据确定直杆所处的地点模型以及确定视频拍摄地点的数学模型，并使用MATLAB、EXCEL软件进行求解，得到已知太阳影子顶点坐标数据可以确定视频拍摄日期和地点等结论.

关键词：太阳影子定位；回归分析；多项式拟合；MATLAB7.0

在当今视频拍摄技术高速发展的时代，对视频数据的分析处理逐渐成为一项重要的研究课题；而如何根据一段已知的视频，确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法（详见2012年全国数学建模A题[1]）.

1　数据的获取及假设

本文数据来源于2015年高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题[1].为方便建立模型与解决问题，提出以下几点假设：①假设地球不动,太阳以地球为中心绕地轴匀速转动；②假设太阳影子观测点的地面是水平的；③假定太阳光是平行照射的.

2　由太阳影子顶点坐标数据确定直杆所处的地点

2.1研究思路

已知某固定直杆在水平地面上的影子轨迹坐标数据，确定直杆的地点，即确定物体所在的经纬度.首先求解某地的经度问题，转化为求解当地时间正午12点与该时刻对应的北京时间的差值，根据经度与时区之间的变化关系，推测出某地的经度范围.确定经度过程中利用MATLAB软件对时间与影子长度的关系进行曲线拟合，通过寻找最小影长确定当地正午时刻相应的北京时间，预测出二者的时间差值.查阅资料可知，在日期、时间已知的条件下，太阳高度角的大小是由纬度决定，而纬度也可以通过太阳高度角反向求解得到，因此将纬度问题转化为求太阳高度角的问题，最后利用MATLAB软件求解函数零点判断物体所在纬度范围.

2.2研究方法

2.2.1建模准备

a.首先定义平面直角坐标系，以直杆底端为原点，水平地面为xy平面，直杆垂直于地面，以正东方向为x轴正方向，以正北方向为y轴正方向,影子顶点的坐标记为(x,y)，定义的坐标系的情况如图1所示.

图1坐标系及各角度示意图

b.太阳影子观测点的地理纬度用φ表示，地方时(时角)以λ表示，用δ表示赤纬角，太阳高度角θ的计算公式[3]为：

sinθ=sinφsinδ+cosφcisδcosλ(1)

由上式可知同一地点一天内不同时点太阳高度角是不断变化的.

其中，由于太阳赤纬角值日变化很小，一年内任何一天的赤纬角δ可近似计算为:

T0=79.6764+0.2422×(计算机日期年份-1985）-INT（（计算日期年份-1985（/4）

其中INT表示取整数部分.

公式（1）中时角λ=15°(n-12),n为一天24小时制所对应的时间.

综上，可以根据测量的日期、时间、地理位置，确定不同时刻相应的太阳高度角，由三角函数关系可以求解出影长随时间动态变化的规律：L=h/tanθ

其中L表示物体的影子长度，h代表物体的高度.

2.2.2经度的确定

2.2.3纬度的确定

由于纬度未知，利用太阳高度角的计算公式无法得到sinθ，因此本文引进太阳方位角A，即经过地球球心与太阳位置点在地平面上投影点的直线与地平面正南方向所夹的角称为方位角.通过查找参考文献得到太阳方位角与太阳高度角存在以下关系[4]：

2.3结果分析

通过对2015年4月18日某地固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据(x,y)的处理，计算影子长度、太阳方位角、太阳赤纬角等.

将数据中给出的北京时间统一换算成以小时计数的时间，如9:45换算成9.75.利用MATLAB软件将北京时间t与对应的影子长度L进行函数拟合，做出的效果图如下所示，并且得到预测的拟合方程为：

L=0.1489t2-3.7519t+24.128

图2北京时间t与影子长度L拟合效果图

图2曲线拟合程度的可决系数R2=0.9673,拟合的准确度高，曲线拟合的结果可信.

同时根据处理得到的数据利用公式(1)，化简得到纬度与各个参数之间的关系函数，利用MATLAB软件编程求解出纬度，并结合经度大小进行汇总，利用在线卫星地图查找系统，近似模拟出不同经纬度所对应的地点.

综上得出以下结论：附件1所给数据直杆所处地点的纬度范围在区间[108°,109.75°]内，经度的范围在[16°,22°]上，直杆所处的可能地点有：海南，北部湾海域，越南.

3　确定视频拍摄地点的数学模型

3.1研究思路

首先，要根据视频提取影长的信息，利用电子标尺测量视频中杆高与影子长度数据，因为杆高与影长的测量值与实际值对应成比例，由此可以计算影子的实际长度，太阳的高度角也可以根据几何知识计算得出；然后，利用太阳高度角与其他参数的函数关系确定物体所在的纬度，经度的计算方法与上文相同.

3.2研究方法

3.2.1对数据进行统计、处理

针对视频中的影子长度，先选取一个时间基点.在此处我们选取的时间基点为2015年7月13 日8:54，往后每隔2分钟再取一个基点,截止点为9:34.列表7给出21组北京时间与影子测量长度的对应值，电子标尺测量的杆的高度是11.54cm.

表1处理后视频中影子长度数据

3.2.2经度的确定

3.2.3纬度的确定

在已知一系列不同时间与影长的数据，就可以计算出不同时间下的太阳高度角.

根据公式(1)，当正午时太阳高度角最大,此刻时角为0°,公式可以简化为:

sinθ=sinφsinδ+cosφcosδ

由两角和与差的三角函数公式,可得

sinθ=cos(φ-δ)

对公式作进一步变换，可知：θ=90°-|φ-δ|

由拟合的曲线方程可以推断影子最短长度，就可以计算正午时刻的太阳高度角，日期确定的情况下δ也是确定的，则根据公式(1)可以推算地理纬度.

3.3结果分析

首先画出处理后的影长随时间变化的散点图，利用已有数据做二次函数关系拟合.利用MATLAB拟合的曲线方程为：L=0.145t2-3.4622t+21.728,

将时间区域拓展到9:00-16:00，画出太阳影子随时间动态变化的曲线图3：

图3太阳影子随时间动态变化的曲线图

利用求导关系计算出最短影长对应的北京时间是11.93862069，根据经度计算公式得出地点所在经度120.92°E.

|φ-δ|=27.947°

那么求出地理纬度φ的值是49.852°或-6. 043°即北纬49.852°或南纬-6.043°.

结合上述确定的经度与纬度的值，用定位系统找到视频的拍摄地点是内蒙古呼伦贝尔市或印度尼西亚.

4　结语

本文建立的模型，在代入实际数据时，均可以得出较为合理的求解结果，且在利用数据做二次函数拟合时，模型拟合的可决系数达97%，可信度很高；本文利用相关软件分析结果符合实际，检验了文中建立模型的合理性.

参考文献：

〔1〕2015年高教社杯全国大学生数学建模竞赛A 题http://www.mcm.edu.cn.

〔2〕陈晓勇,郑晓科.对建筑日照计算中太阳赤纬角公式的探讨[J].浙江建筑,2011(9):7-9.

〔3〕郑鹏飞,林大钧,刘小羊,吴志庭.基于影子轨迹线反求采光效果的技术研究[J].华东理工大学学报,2010(36):459-463.

〔4〕王国安,米鸿涛,邓天宏,李亚男,李兰霞.太阳高度角和日出日落时刻太阳方位角一年变化范围的计算[J].河南气象,2007(09):3-7.

〔5〕杨光容,罗茂羲.建筑采光和照明设计[M].北京:中国建筑工业出版社,1980.4-66.

通讯作者：徐凤（1980-），女，安徽宿州人，安徽财经大学统计与应用数学学院讲师，硕士，研究方向:应用统计.

基金项目：国家自然科学基金(11301001);安徽财经大学教研项目(acjyzd201429)

收稿日期：2015年12月2日

中图分类号：N91；O242

文献标识码：A

文章编号：1673-260X（2016）02-0025-03