超级电容动态容值测量与容值函数参数估计

于　鹏，井天军，杨仁刚（.中国农业大学信电学院，北京 00083；　2.渤海大学工学院，锦州 203）



超级电容动态容值测量与容值函数参数估计

于鹏1,2，井天军1※，杨仁刚1
（1.中国农业大学信电学院，北京 100083；2.渤海大学工学院，锦州 121013）

摘要：针对目前的超级电容参数在线识别方法动态参数测量困难，通用性差，精度低的缺点，提出一种超级电容动态容值测量与参数识别方法。该方法中提出了动态电容值测量模型，通过电荷关系式与能量关系式联立推导动态电容值测量方程组，并采用限定记忆最小二乘法进行参数识别，应用时域仿真对该方法进行了验证。仿真结果表明，该文提出的电容值测量与参数识别方法适用于多种不同的容值函数。当测量信号存在噪声时仍可对电容测量，平均误差低于1%，参数估计相对误差低于20%，可以应用于超级电容动态容值测量。

关键词：电容；容值测量；参数估计；超级电容；最小二乘法

于鹏，井天军，杨仁刚. 超级电容动态容值测量与容值函数参数估计[J]. 农业工程学报，2016，32（3）：169－174. doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2016.03.024http://www.tcsae.org

Yu Peng, Jing Tianjun, Yang Rengang. Capacitance measurement and parameter estimation method for supercapacitors with variable capacitance[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2016, 32(3): 169－174. (in Chinese with English abstract)doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2016.03.024http://www.tcsae.org

0　引　言

超级电容规模化储能使用需要对超级电容容值参数进行测量与识别[1]。超级电容器的电容值是变量,获得超级电容器容值参数对于超级电容测量、储能系统设计和在线故障检测都具有重要意义。超级电容参数估计方法包括频域与时域参数估计[2-3]，本文主要针对时域参数估计。时域参数估计通常在函数关系基础上，采用参数估计方法得到函数表达式中的系数（参数）。目前超级电容容值函数形式主要有2种不同的观点，一种认为超级电容器的电容主要随电容电压变化而变化，电容值与电容电压呈线性关系[4]，另一种观点认为超级电容器的电容主要随电容电流变化而变化，电容值与电容电流呈多项式关系[5]。函数系数的计算目前广泛采用最小二乘参数估计法。最小二乘估计与其他最优估计方法（例如极大似然估计）相比,最大的优点在于不要求已知干扰或噪声的分布，既适用于线性系统也适用于非线性系统。对于容值函数的参数估计而言，限定记忆最小二乘法的精度较高[6]。

超级电容的电容值不能直接测得，只能通过测量电容器的端电压和电流再计算间接获得。超级电容器电容测量方法可以按等值电路、电阻测量和电容测量三方面来综述。目前，超级电容器的等效电路模型主要有梯形电路模型、多支路等效电路模型和经典等效电路模型[7]。梯形电路模型[8]是采用电容与电阻支路成梯型连接构成的电容模型，优点在于对超级电容参数描述精确，缺点在于模型阶数的选择影响最终结果。多支路等效电路模型[9-10]是采用多个元件连接描述超级电容器的外特性，缺点是通用性差，模型建立困难。超级电容的经典等效电路模型是采用串联电阻、并联电阻和电容器连接构成的等值电路，优点在于待定参数少、电路简单、便于计算。这种经典等值电路的主要问题是难以用于测量超级电容器动态电容值。目前对内阻测量的研究相对成熟，不是本研究的重点,一般认为内阻具有短时间恒定、长时间缓慢变化的特性。超级电容器内电阻的测量通常采用经典模型[3,11-12]。传统容值测量方法[13-14]包括恒压法、恒流法[15]、计算电容法[16]。现有方法多将超级电容器的电容作为恒定值进行测量[3,17]。变化的动态电容值测量仍是研究中的问题。设电容值变化的模型是在经典模型基础上，将电容值设置为时变函数，这种模型具有经典模型的优点又可以反映电容值的变化。徐文东等[16]所述计算电容法可以进行动态容值的测量，在实际测量中存在抗噪声性能差，测量不精确的缺点。梁海泉等[4]提出了电容值按测量时间分段恒定的测量方法。该方法设超级电容值在分段时间区域内为常数，利用时间区域内电容器电压和电流的多个测量数据进行参数估计计算，得到超级电容器的电容关于电压呈线性变化的结论。但是，该方法当储能系统中电流急剧变化时误差较大，同时受噪声影响也较大。蔡国营等[5]在恒流充电情况下根据电压斜率得到容值，最终获得电容值关于电流的变化曲线。

以上现有的超级电容容量测量和参数估计的方法存在通用性差，难以适用于工业现场不同情况；容值测量困难，难以反映超级电容容值的动态特性；抗干扰能力差，对噪声信号适应性不强，测量精度较低的缺点。针对现有方法的缺点，本文提出了动态容值间接测量方法。这种方法根据电容电荷变化与能量变化列写方程组,充分应用2个采样时刻之间的电压电流量测数据，通过求解方程组间接测量超级电容的动态电容值。再根据间接测得的电容值时间序列，对以电压或电流为自变量的容值函数进行参数估计求得容值函数系数。这种方法与现有方法比较，具有通用性强，测量精度高的优点。本文首先介绍提出的超级电容器动态容值测量模型，然后介绍现有容值函数的形式，采用限定记忆最小二乘法估计容值函数系数并进行容值函数拟合，最后针对测量模型的通用性和噪声条件下的测量有效性进行了仿真验证。

1　超级电容容值测量模型与参数估计

为了在线获得超级电容实际测量值C(t)，本文提出的动态容值测量模型和基于这种测量模型的参数估计方法。

1.1电容值测量方程

由于电容器的内阻相对于外部电路变化不大，漏电流一般较小，在超级电容容值测量时通常可以将内阻rs近似为常数，漏电流忽略不计[4-5]，超级电容的简化等值电路如图1。

图1　超级电容的简化等值电路Fig.1　Simplified equivalent circuit of supercapacitor

任意时刻t单体电容器的端电压为

本文将超级电容内阻rs设为已知量。

1.1.1电容器电荷变化方程

根据电容的定义，由相同时刻电容的电流、电压和电容值可以得到该时刻电容器中储存的电荷，进而获得这2个时刻之间该电容器电荷的变化量。另一方面，这2个时刻之间电荷的变化量又等于该时段电流对时间的积分。由此推导电荷变化方程。

设同一电容器电流与电压的采样间隔为Δt，2个采样时刻分别为ti－ nx和ti，其中i为时间序号，nx为设定时间间隔数，i和nx均为整数。根据电容的定义这2个时刻电容器所储存的电荷分别为q( ti－nx)和q(ti)。

将电容电荷用电容器单体端电压测量信号和电流信号来表示，则在[ti－ n x，ti]时段内电容电荷的总变化量为

该时段电容电荷的变化量又可以用电流的积分表示，即

显然，由式（2）表示的电荷变化量与式（3）表示的电荷变化量相等，根据数值积分梯形公式得到这2个时刻电荷的变化量方程

式中j为求和公式中t的整数序号。

式（4）是一个以C(ti)和C( ti－nx)为未知数的方程。

1.1.2电容器能量守恒方程

根据电容储能公式，每个时刻电容的能量可以用该时刻的电容值和电容电压来表示,则同一电容器2个时刻的能量差等于电容器在该时段内能量的变化量；另一方面，该时段内电容器能量的变化量又等于功率对时间的积分，因此可以得到能量变化方程。

由式（1）得到[i n xt－，ti]时段内电容器储存电能的变化量为

式中Δw为电容器存储电能的变化量，J。

该时段电能变化量Δw与功率的关系为

式中为pC(t)电容瞬时功率，W。

由图1可知，电容功率为电容器端口总功率与电阻消耗功率之差，即

式（5）与式（6）所表示的能量变化量相等，则有

式（8）也是一个以C(ti)、C( ti－nx)为未知数的方程。

1.1.3电容器动态容值测量模型

由2个时刻超级电容的电荷变化方程（式（4））和能量变化方程（式（8））联立求解即可得到这2个时刻电容器的容值，这2个方程形成的方程组为电容器动态容值测量模型，用矩阵表示为

式中A为由电容端电压和电流测量值表示的2×2阶系数阵；B为由2阶常数列向量；C为2个时刻的待测电容值列向量，C中元素为待求未知数。

即

1.2容值函数与参数估计

电容器电容值的容值函数（电容值与状态量的函数关系）主要有2类，一类认为超级电容电容值与电压呈线性关系，另一类认为超级电容容值与电流呈非线性关系。

超级电容容值与电压呈线性关系，即

式中C为电容值；u为电压值；θ1，θ2为回归系数。

超级电容容值与电流呈非线性关系，即

式中i为电流值；θ1，θ2和θ3为回归系数。

本文的超级电容参数估计方法首先由式（9）计算电容的测量值序列，然后基于电容测量值与电压或电流测量值，根据给定容值函数，采用限定记忆最小二乘估计最佳参数列向量。根据参数估计值对容值函数进行拟合，得到的拟合曲线即为对动态容值的最终测量结果。

2　仿真试验及结果

首先，通过仿真试验计算了不同给定容值函数关系下本文测量方法的测量误差，并与文献[4]测量结果进行比较。其次，通过设置测量噪声仿真检验本文参数估计的误差并与传统计算电容法结果进行比较。

2.1仿真电路

仿真电路如图2，试验电路采用电压源us、串联电阻r作为电源。控制器控制电阻与电源随机切换实现超级电容随机充放电，并测量记录通过超级电容器支路的电流i(ti)和超级电容器的端电压u(ti)。

图2　测量电路图Fig.2　Measurement circuit

2.2容值测量仿真结果

为了验证本文提出的电容容值测量模型的正确性，将电容器容值设计为电压或电流的不同函数，包括：1）电容值为常数；2）电容值是电压的线性函数；3）电容值是电流的二次函数；4）电容值是电流的指数函数。测量电路参数见表1。其中表1中的容值函数关系包括假设的常数关系和指数关系以更充分验证本文测量方法对不同类型容值函数的适用性。

表1　不同电容函数、电流参数的电容测量结果Table 1　Capacitance measurement results for different capacitance function and current parameter

对应不同电路参数分别进行仿真试验测量，并将本文模型（式（9））的电容测量结果与文献[4]的分段模型（对比模型）的结果进行比较。电容测量结果见图3和表1。

由图3a和图3b可知，本文模型和对比模型均能实现有效测量，相对于对比模型，本文模型与给定容值函数更吻合。在图3c和图3d中，本文模型能够较好地随给定容值函数的变化而变化，而对比模型测量失效。

由表1可知，当电容值为常数时，本文模型测量的平均相对误差为1.51%，对比模型为8.23%。当电容值是电压的线性函数时，本文测量的平均相对误差为3.74%，对比模型为36.15%。由此可见，2种测量模型在电容值与电压呈线性关系时都能实现电容值的测量，但本文模型的测量平均相对误差均小于5%，明显优于对比模型。当电容值是电流的二次多项式函数时，本文测量结果的平均相对误差为11.04%，电容值是电流的指数函数时，本文测量结果的平均相对误差为26.85%；而在这2种情况下，对比模型的测量结果平均误差均为误差100%。由此可见，当电容值与电容状态量呈非线性关系时，本文模型对容值的测量仍然有效，而对比模型的测量无效。

图3　不同给定容值函数的超级电容容值测量曲线Fig.3　Measurement curve of supercapacitor capacitance for different set capacitance functions

2.3电容参数估计仿真结果

参数估计试验采用与本文2.2节相同试验环境，在每个采样时刻对采样值叠加噪声重新进行试验。为了模拟实际数据，依据文献[4]和文献[5]以2种电容值函数分别进行试验，采用本文方法对仿真试验的参数进行估计，再根据估计参数得到拟合的电容值。试验结果与传统计算电容法[16]得到的结果进行比较。其中，试验1：电容值按电压的线性函数变化，其容值函数形如式（13），试验电路参数同表1中第2项，试验总时间为20 s，采样间隔为0.01 s；试验2：电容值按电流的二次多项式变化，其容值函数形如式（14），试验电路参数同表1中第3项，试验总时间为200 s，采样间隔为0.1 s。

由式（9）间接测量的电容值和动态容值拟合曲线如图4。以拟合曲线为最后的动态容值拟合结果，则参数估计和动态容值测量误差结果见表2。

图4　间接测量电容值和参数估计拟合值Fig.4　Capacitance calculated with indirect measurement and fitted with parameters estimation

由图4可知，在存在噪声的情况下，测量反映了实时容值；经过限定记忆最小二乘法进行参数估计得到的动态容值拟合曲线与给定曲线基本吻合，达到了滤除误差的预期效果。

表2　参数估计与拟合容值结果Table 2　Results of parameter estimation and fitting capacitance

由表2可知，采用本文方法进行参数估计，当给定容值函数是电压线性函数时，θ1的相对误差为0.6%，θ2相对误差为7%，由这组参数得到动态容值测量结果最大误差为−1.25%，最小误差为0.004%，平均相对误差为0.53%；当给定容值函数是电流的二次多项式函数时，θ1、θ2和θ3的相对误差分别为10.62%、19.7%和11.5%。由这组参数得到动态容值测量结果的最大相对误差为10.2%，最小相对误差为−0.005%，平均相对误差为0.51%。由表2可知：当给定容值函数是电压线性函数时，采用计算电容法得到动态容值测量结果平均相对误差为24.13%；当给定容值函数是电流的二次多项式函数时，采用计算电容法得到电容估计值平均相对误差为42.69%。结果表明采用本文方法的进行动态容值测量平均相对误差明显优于传统的计算电容法。

3　结　论

1）根据电容电荷和能量守恒原理，提出了动态电容值测量方法。这种测量方法根据电荷变化与能量变化列写方程组建立测量模型，可以在电容值随电流或电压变化的情况下通过求解方程间接测量实时电容值。提出了基于动态电容测量的超级电容在线参数估计方法，该方法在本文提出的动态容值测量模型的基础上，采用限定记忆最小二乘参数估计法获得容值函数的系数，进而通过曲线拟合得到最终测量的动态容值。

2）仿真试验结果表明:本文提出的动态容值测量模型可以在超级电容随机充放电工况下根据电容器端电压与电流的测量数据获得时变电容值序列，与以往方法相比测量精度和适应性均有较大的提高。本文提出的参数估计方法在信号存在噪声的情况下可以识别电容为线性、二次多项式函数情况下的函数系数，在容值为线性函数情况下识别误差小于10%，容值为二次多项式函数情况下误差小于20%；通过函数的参数估计能够较为准确地拟合超级电容动态容值，平均相对误差小于0.53%、最大相对误差小于20%。与现有计算电容法相比，本文方法在有噪声情况下容值测量误差显著减小。

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·农业生物环境与能源工程·

Capacitance measurement and parameter estimation method for supercapacitors with variable capacitance

Yu Peng1,2, Jing Tianjun1※, Yang Rengang1
(1. College of Information and Electrical Engineering, China Agricultural University, Beijing 100083, China; 2. College of Engineering, Bohai University, Jinzhou121013, China)

Abstract:Estimating the parameters of capacitance function is important for supercapacitor manufacture and integration. The estimated parameters are useful for fault monitoring and health state identification. Because the capacitance can’t be measured directly, indirect measurement model is needed. The capacitance of supercapacitor has relation with voltage or current. The existing methods of supercapacitor parameters estimation have poor performance on variable capacitance and poor adaptability with signal noise. According to the disadvantages of existing methods, a capacitance measurement and parameter estimation method for variable capacitance of supercapacitors was proposed in this paper. This method included two parts: a measurement model; and parameter estimation. The time variable parameter classic model with variable capacitance was used to simulate the time variance character of supercapacitor. Based on this model, a new method was inferred. In this method, the equations based on charge and energy conservation were used to form measuring equation group. Trapezoid formula was applied to solve discrete integral in the equation group. By solving equation groups, the capacitance in every sampling time was measured indirectly. As result, the time series of capacitance were expressed by stack of voltage and current. After bringing the measured voltage and current into the expression of capacitance, the time series of capacitance were obtained. After the capacitances were measured indirectly, the fixed memory least squares method was applied on the time series of capacitance to estimate the parameters of capacitance function. Two simulation experiments based on Matlab were conducted to verify the capacitance measurement and parameter estimation. In these experiments voltage source and load resistance were used to make the supercapacitor charge and discharge randomly. In the first experiment, we used four different functions of the capacitance to test the adaptability of measurement. Comparisons were made between methods, published one in the literature and the ones proposed in this paper. When the capacitance was constant, the average relative error of measurement was 1.51%. The error of reference group was 8.23%. When the capacitance was linear function, the average relative error of measurement was 3.74%. The error of reference group was 36.15%. When the capacitance was quadratic polynomial function, the average relative error of measurement was 11.04%. The error of reference group was 100%. When the capacitance was exponent function, the average relative error of measurement was 26.85%. The error of reference group was 100%. This result showed that the new method was effect under four situations while the reference method was only effect in the situation of that the capacitance was constant and the capacitance was linear function. The second experiment was done with two types of capacitance functions to verify the method under measurement noise. The white Gaussian noise was added into the measured signal to simulate the practical situation. When the capacitance was linear function of current, the average relative errors of measurement were 0.6% and 7%. When the capacitance was quadratic polynomial function of voltage, the average relative errors of measurement were 10.62%, 19.7% and 11.5%. The result showed that the new method was effective under white Gaussian noise. The reference simulation of capacitance measurement based on an existing method was made. The reference method is a computing capacitance method. The result showed that the proposed method had lower error than the reference method. The experiment result supported that the proposed method in this paper was adaptive for different function of capacitance and the method was effect under additive white Gaussian noise on voltage and current signal.

Keywords:capacitors; capacitance measurement; parameter estimation; supercapacitor; least squares method

通信作者：※井天军，男，博士，主要研究微电网运行与控制。北京中国农业大学信息与电气工程学院，100083。Email：jtjy11@cau.edu.cn

作者简介：于鹏，男，辽宁省锦州市人，讲师，博士。研究方向为电力电子。辽宁渤海大学工学院，121013。Email：guotianyu2015@163.com

基金项目：中央高等学校基本科研业务费（2015XD004）；国家高技术研究发展“863”计划（2012AA050217）

收稿日期：2015-08-17

修订日期：2015-12-15

中图分类号：TM53

文献标志码：A

文章编号：1002-6819(2016)-03-0169-06

doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2016.03.024