超空间系统上的族等度连续与族等距

但建军，金渝光

（重庆师范大学数学科学学院，重庆401331）

超空间系统上的族等度连续与族等距

但建军，金渝光

（重庆师范大学数学科学学院，重庆401331）

设f是紧度量空间X上的连续自映射且f-是由f诱导的超空间系统（K（X），f-）上的连续自映射，其中K（X）表示由X的所有非空紧子集赋予Hausdorff度量所得空间.主要讨论了在Furstenberg族意义下超空间系统与底空间系统等度连续及等距的相关性质.

超空间系统；Furstenberg族；等度连续；等距

用Z+表示非负整数集，动力系统是指偶对（X，f），其中（X，d）为紧度量空间，且f：X→X为连续映射，表示由f诱导的超空间上的连续映射，其中K（X）表示由X的所有非空紧子集构成的集族，称（X，f）为底空间系统，称为超空间系统.

族的概念最早可以追溯到在数理逻辑和一般拓扑中滤子的使用，族具有向上遗传性.1981年，Harry Furstenberg在《Recurrence in Ergodic Theory and Combinatoria1 Number Theory》中将族的思想进行了深刻阐述. 在1997年E.Akin出版的《Recurrence in topo1ogica1 dynamics：Furstenberg fami1ies and E11is actions》一书中完善而系统的总结和发展了Furstenberg族的使用与方法.他在书中详细讨论了族的定义及一些运算；在族的观点下讨论了非游荡集；强调了族意义下的混合性和传递性；运用所建立的概念和方法讨论了dista1和等度连续的性质.2004年，邵松和叶向东［1］通过族来研究弱不交，得出Weiss-Akin-G1asner定理.2007年，熊金城等［2］定义了全局性F混沌系统和全局性强F混沌系统，并且对于系统（X，f）是否是全局性强F混沌的给出了一个判据.2009年，谭枫和熊金城［3］定义了（F1，F2）混沌，给出一些充分条件使系统（X，f）是（F1，F2）混沌的.2011年，汪火云等［4］引进了族意义下的等度连续和处处混沌的概念，并得到了相应的结论.2012年，吴新星和朱培勇［5］得出了F敏感和全局性（F1，F2）混沌的一组等价刻画，还讨论了双Furstenberg族混沌在逆极限系统和乘积系统中的相关性质.2015年，吴新星等［6］讨论了超空间系统上F敏感和多重敏感的相关性质.本文主要讨论超空间系统与底空间系统族等度连续及族等距的联系.

1 基本定义与预备知识

设（X，d）为紧度量空间，f：X→X为连续映射，K（X）表示由X的所有非空紧子集构成的集族，在K（X）上赋予Vietoris拓扑，则形如集族的全体构成的K（X）上拓扑的一个基，其中Ai，i=1，2，…，n是X中非空开集.

定义K（X）上由d诱导的Hausdorff度量如下：

dH（A，B）=max｛ρ（A，B），ρ（B，A）｝，其中，任意A，B∈K（X）.

由文献［7］可知，K（X）上的Vietoris拓扑和Hausdorff度量dH是相容的.

对定义在X上的动力系统（X，f），可以诱导一个超空间系统，对于任意的A是连续的.更多关于超空间的结果可见文献［8］.用B（A，ε）表示集合｛F∈K（X）|dH（A，F）＜ε｝.

设P为Z+的所有子集构成的集族.集族F⊂P为一个Furstenberg族（或者简称为族），如果它是向上遗传的，即F1⊂F2和F1⊂F推出F2⊂F.族F称为真族，如果它是P的非空真子集，即它既非空又不为P.由遗传向上性，F为真族当且仅当∅∉F且Z+∈F.

对Furstenberg族F，其对偶kF=｛F∈P：F∩F1≠∅对所有的F1∈F成立｝=｛F∈P：Z+＼F∉F｝，不难证明，kF也为Furstenberg族.若F为真族，则kF也为真族.

设F1，F2为两个Furstenberg族，定义F1和F2的乘积为F1·F2=｛F1∩F2：F1∈F1，F2∈F2｝.记B为Z+的所有无限子集构成的集族，族F称为满的指它为真的且满足F·kF⊆B.

定义1［4］设族F⊂B，称动力系统（X，f）为F等度连续的，指对任意的ε＞0，存在δ＞0，当d（x，y）＜δ时，有｛n∈Z+：d（fn（x），fn（y））＜ε｝∈F成立.

定义2 设族F⊂B，称一个动力系统（X，f）是F等距的，指对任意的x，y∈X，有｛n∈Z+：d（fn（x），fn（y））=d（x，y）｝∈F成立.

2 主要结论

证明 （⇒）设（X，f）是F等度连续的，则对任意ε＞0，存在δ＞0，当d（x，y）＜δ时，有A=｛n∈Z+：d（fn（x），fn（y））＜ε｝∈F成立.

任取l∈A，则对任意ε＞0，存在δ＞0，当d（x，y）＜δ时，有d（fl（x），fl（y））＜ε成立.因为空间X是紧度量空间，所以当d（x，y）≤δ时，此结论仍成立.

因为fl（x）∈fl（K），所以B（fl（x），ε）⊂B（fl（K），ε）.即

对任意的K1，K2∈K（X），若dH（K1，K2）＜δ，则K1∈B（K2，δ）且K2∈B（K1，δ）.

由族的向上遗传性可得，对任意ε＞0，存在δ＞0，当dH（K1，K2）＜δ时，有∈F.

任取m∈B，则对任意ε＞0，存在δ＞0，当dH（｛x｝，｛y｝）＜δ时，有

由Hausdorrf度量定义可知，当d（x，y）＜δ时，有d（fm（x），fm（y））＜ε.

根据族的向上遗传性得，对任意ε＞0，存在δ＞0，当d（x，y）＜δ时，有成立.即（X，f）是F等度连续的.

证明 （⇒）设（X，f）是F等距的，则Q=｛n∈Z+：d（fn（x），fn（y））=d（x，y）｝∈F.

任取l∈Q，则d（fl（x），fl（y））=d（x，y）.

同理：ρ（fl（B），fl（A））=ρ（B，A），

所以，d（fm（x），fm（y））=d（x，y）.

故由族的向上遗传性得，｛n∈Z+：d（fn（x），fn（y））=d（x，y）｝∈F.即（X，f）是F等距的.

［1］ SHAO S，YE X.F-mixing and weak disjointness［J］.Topo1ogy&Its App1ications，2004，135（1）：231-247.

［2］ XIONG J C，JIE L，Tan F.Furstenberg fami1y and chaos［J］.Science in China，2007，50（9）：1325-1333.

［3］ TAN F，XIONG J C.Chaos via Furstenberg fami1y coup1e［J］.Topo1ogy&Its App1ications，2009，156（3）：525-532.

［4］ WANG H，XIONG J，L JIE.Everywhere Chaosand Equicontinuity via Furstenberg Fami1ies［J］.Advances in Mathematics，2011，40（4）：447-456.

［5］ 吴新星，朱培勇.由双Furstenberg族诱导的混沌［J］.数学学报，2012，55（6）：1039-1054.

［6］ WU X，WANG J，CHEN G.F-sensitivity and mu1ti-sensitivity of hyperspatia1 dynamica1 systems［J］.Journa1 of Mathematica1 Ana1ysis&App1ications，2015，15（2）：133-136.

［7］ ENGELKING R.Genera1 topo1ogy［M］.Warszawa：Po1ish Scientif Pub1isher，1997.

［8］ ILLANES A，NADLER S.Hyperspaces：Fundamenta1s and recent advances［M］.CRC Press，1999.

责任编辑：时 凌

EquicontinuitY and Equidistant via Furstenberg Families on the HYPersPace SYstem

DAN Jianjun，JIN Yuguang
（Schoo1 of Mathematica1 Sciences，Chongqing Norma1 University，Chongqing 401331，China）

Let f be a continuous se1f-map defined on a compact metric space X andbe a continuous se1f -map induced by f on the hyperspace system，among them，K（X）is expressed by a11 nonempty compact subsets of X endowed with a Hausdorff metric.In this paper，we main1y discuss the re1ated properties of the equicontinuity and equidistant of the hyperspace system and the basicspace system via Furstenberg fami1ies.

hyperspace system；Furstenberg fami1y；equicontinuity；equidistant

O189.11

A

1008-8423（2016）02-0137-03

10.13501/j.cnki.42-1569/n.2016.06.005

2016-05-18.

国家自然科学基金项目（11471061）；重庆市研究生科研创新项目（CYS16149）.

但建军（1988-），男，硕士生，主要从事拓扑动力系统的研究.