条件风险下的两基金分离定理

向华　杨招军　周伟峰

摘 要 鉴于条件风险价值CVaR具有风险度量的合理性以及两基金分离定理对证券投资的重要意义，以CVaR作为风险度量研究两基金分离定理.在组合收益率服从正态分布的假设下，分别就投资组合含有或没有无风险资产的情形提出并证明了两基金分离定理；放开方差-协方差矩阵为非奇异这一通常假设，证明了CVaR风险度量下的两基金分离定理依然成立.

关键词 条件风险价值；正态分布；两基金分离定理；奇异

中图分类号 F830 文献标识码 A

Abstract Based on the rationality of the conditional value at risk as well as the important role of two fund separation theorem on securities investment， this paper analyzed the two fund separation theorem. For the portfolio with or without riskfree asset， we proved two fund separation theorem under the assumption that the portfolio return follows normal distribution. Further， we find that two fund separation theorem remains valid if the variancecovariance matrix is singular.

Key words conditional valueatrisk； normal distribution； two fund separation theorem； singular

1 引 言

随着金融市场风险的加大，金融机构正面临着日趋严重的风险，作为高风险的行业的证券业，如何给出其投资组合的风险度量是防范和控制风险的先决条件.自Markowitiz.H[1]于1952年给出了以资产收益率的方差作为风险度量以来，由于方差作为风险度量的缺陷，不断有学者提出新的风险度量方法.最具代表性的是1999年Rockafellar and Uryaser[2]首次提出的CVaR风险度量方法， 由于该风险度量同时满足正齐次性、次可加性、单调性和传递不变形， 不仅弥补了方差和VaR度量的一系列缺陷而且是一致性的风险度量方法，吸引了中外学者的极大关注.例如，Palmquist[3]给出了均值CVaR有效前沿的三种等价描述，并对CVaR的概念，性质，计算及优化等做了详细的介绍.Rockafellar and Uryasev[4]还对损失服从一般分布的CVaR模型进行了研究.在国内，刘小茂和李楚霖[5]讨论了正态情形下风险资产组合的均值CVaR的有效前沿，并与均值方差模型进行了比较.林旭东和巩前锦[6]给出了均值CVaR模型的有效前沿的表述，总结并推导了有效前沿的性质.但他们都没有对该风险度量下的两基金分离定理是否成立进行推导和证明.

由于两基金分离定理对资本资产定价模型的研究有重要意义，对CVaR风险度量下的两基金分离定理的证明和研究，有学者已做了不少工作.例如李杰[7]在资产收益率服从t分布的条件下对两基金分离定理进行了证明.曹静[8]等证明了方差-协方差矩阵为非奇异的均值CVaR模型下的两基金分离定理.本文与他们研究的区别在于：以资产收益服从正态分布这一通常假设这是因为现实经济中大量的经济现象都服从这一分布；其次讨论了投资组合中含有无风险资产的情形，因为投资者通常都有这样的流动性机会；再次，本文放开方差-协方差矩阵为非奇异这一经典假设.这是因为市场上风险资产数量日益繁多，且近年来随着各种衍生金融产品的涌现，许多金融单位和机构投资者的投资组合中包含了大量的衍生工具，这种情形往往导致风险资产之间具有高度的相关性，甚至是完全相关性.从而导致方差-协方差矩阵V=0.当资产之间存在相关性时，对在CVaR风险度量下两基金分离定理的证明，是本文的创新之处.因此本文首先证明了不含无风险资产的均值CVaR模型下的两基金分离定理，然后讨论了投资组合中含有无风险资产情形的两基金分离定理；最后在方差协方差矩阵为奇异条件下，分析并证明了两基金分离定理的成立，同时得到了一些有用的结论.

本文余下结构安排如下：第二节为条件发风险的定义；第三节证明了风险资产组合下的两基金分离定理；第四节证明了含有无风险资产下的两基金分离定理；第五节在资产存在相关性的条件下证明了两基金分离定理；最后一节是本文的结论.

2 CVaR的定义及一些结果的介绍

定理3当方差-协方差矩阵V奇异时，对于情形1两基金分离定理成立，对于情形2，风险资产的极大无关组和无风险资产可生成原n个风险资产的组合边界，两基金分离定理仍然成立.

5 结 论

鉴于两基金分离定理对资本资产定价研究的重要意义，本文以一种新型的风险度量CVaR作为度量投资组合的风险，并在该度量下探讨两基金分离定理是否成立.证明了无论投资组合有还是没有无风险资产，在组合收益率服从正态分布的假设下，两基金分离定理成立.区别于传统的方差-协方差矩阵可逆的假设，本文放开这一假设.这是因为市场上风险资产的数量日益繁多，特别是各种衍生金融产品的涌现，许多金融单位和机构投资者的投资组合中包含了大量的衍生工具，这种情形导致资产之间具有一定的相关性，从而使得方差-协方差矩阵V=0.对于探讨资产之间具有一定的相关性下的两基金分离定理更有现实意义.我们发现并证明了两基金分离定理的成立，同时得到了一些有用的结论.

参考文献

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