基本图形在面积平分问题中的应用

梁艳云

【摘要】 本文通过对基本图形三角形、四边形的作图，归纳方法，提炼模型，并应用基本模型解决梯形、任意四边形等多边形的面积评分问题.最后对基本图形的教学进行反思.

【关键词】 基本图形；提炼模型；应用模型

面积平分问题是中学数学教学的一个难点问题，在近几年的中考试题中出现的频率也比较高. 它不仅考查学生的基本作图，更重要的是考查学生综合运用知识的能力，对学生灵活运用知识解决问题的要求很高，所以很多学生面对此类问题很难下笔. 如何让学生有效的掌握多边形面积平分问题的解题策略，是值得我们研究探讨的一个问题，下面就这类问题笔者谈一谈自己的一些做法，希望能给同行们一些启发、借鉴和参考.

一、提炼基本模型

问题一：能否作一条直线将△ABC分成面积相等的两部分？

已知：△ABC.

结论：可作一条直线平分△ABC的面积.

方法：作△ABC一条中线所在的直线.

基本模型：平分△ABC面积的直线是三角形中线所在的直线.

二、应用基本模型

1. 基本模型在梯形中的应用

问题二：如图1，如何作一条直线将梯形ABCD分成面积相等的两部分？

（1）将梯形转化为三角形

方法一：如图2所示，取DC中点M，连接AM并延长交BC的延长线于点N，则S△ADM = S△CMN，因此S梯形ABCD = S△ABN，根据三角形面积的平分方法，即可平分此梯形.

方法二：如图3所示，取AB、CD的中点M、N及AD上任取一点E，连接EM、EN并延长交CB延长线、BC延长线于点G、H，则S△AEM = S△BGM，S△DEN = S△CHN，因此S梯形ABCD = S△EGH，也根据三角形面积的平分方法，即可平分此梯形.

（2）将梯形转化为平行四边形

方法一：如图4所示，可将梯形转化为矩形，分别过AB、DC的中点M，N作BC的垂线，交BC于点F、G，交DA和AD的延长线于点E，H，则S△AEM = S△BFM，S△DHN = S△CGN，因此S梯形ABCD = S矩形EFGH，根据平行四边形面积的平分方法，即可平分此梯形.

方法二：如图5所示，可直接将梯形转化为平行四边形，方法更简单.过DC的中点M，作AB的平行线交BC于点F，交AD的延长线于点E，则S△DEM = S△CFM，因此S梯形ABCD = S？荀 ABFE，根据平行四边形面积的平分方法，也可平分此梯形.

（3）平分梯形面积的通法

平分梯形面积的方法很多，无论哪种方法所作的直线都满足下列两个条件：

① 经过梯形中位线中点；② 与梯形的两底相交.

理由如下，如图6所示，

3. 基本模型在任意五边形中的应用

问题三： 如图7，如何作一条直线将五边形ABCDE分成面积相等的两部分.

解法 将任意五边形转化为三角形，如图8所示，连接AC，AD，过点B，E分别作AC，AD的平行线，交直线CD于点G，H，连接AG和AH分别交BC、DE于点M，N，即形成了两对蝴蝶型，则有S△ABM = S△CGM，S△AEN = S△DHN， 将五边形ABCDE的面积转化为面积相等的三角形AGH，因此S五边形ABCDE = S△AGH，根据三角形面积的平分方法，即可平分此五边形.

三、反思基本图形教学

1. 本文蕴含的基本图形

在多边形面积平分问题中，可以归纳出以上四种基本图形：三角形、平行四边形、梯形、蝴蝶形，具体分割方法如上图所述. 平分梯形可以直接转化为三角形或平行四边形来解决，平分任意四边形或任意五边形可以利用蝴蝶形间接转化为三角形来解决，不论是哪种多边形面积平分问题都可以转化为三角形面积平分问题. 所以教师在教学中要有意识的引导学生挖掘基本图形，在解题中灵活运用基本图形，这样便可以快捷的找到解题思路，缩短思维距离，提高解题速度.

2. 将基本图形功能最大化

教无定法，不同的问题有不同的教学方法，相同的问题不同的老师教法也不一定相同，当然教学效果也有区别.如何使问题教学功能最大化，从多年的教学实践中总结出对问题的处理可分为三个层次；

第一层次：教法单一，就题论题 . 学生能听懂但不一定会做，这是最低层次. 常听一些老师抱怨：反复多次讲过的问题，还是有很多的学生仍然不会做，就认为是学生不努力、脑子笨. 我认为这样说对学生是不公平的，因为就提论题的教学方式本身就有很大的弊端，教给学生的知识是孤立的、零散的，学生难以沟通知识间的联系，一旦问题变化就束手无策，即使老师讲过的问题也容易忘记.

第二层次：教法多样，变式拓展. 对问题能进行一题多解，一题多变，引导学生对问题多角度、多层次、多方面思考，这是第二层次，这样的教学方式能培养学生的发散思维，能灵活的运用所学知识思考问题解决问题.

第三层次：归纳总结，上升模式. 通过对问题多解和多变，能进行总结归纳其解题数学思想方法，上升到一种解题模式，这是教学的最高境界.这也是一线教师所追求的最高目标.