“平面图形的认识（二）”核心概念解读

虞仁良

一、 三线八角

两条直线被第三条直线所截形成8个角，它们构成了同位角、内错角、同旁内角.

如图1，直线a、b被直线l所截

①∠1和∠5分别在被截直线a、b的上方，并且都在截线l的同侧，这样的一对角称为同位角.图1中∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8也是同位角，

②∠4和∠6分别在被截直线a、b之间，并且在截线l的两旁，这样的一对角称为内错角.图1中∠3和∠5也是内错角，

③∠4和∠5分别在被截直线a、b之间，并且在截线l的同旁，这样的一对角称为同旁内角.图1中∠3和∠6也是同旁内角，

正确理解、识别这三类角应注意以下几点：

（1） 识别三类角首先要抓住“三条线”，即：哪两条直线被哪条直线所截.

（2） 抓住截线，截线的同侧有哪些角，从中找同位角和同旁内角，在截线的两侧找内错角.

（3） 三线八角描述的只是位置关系，而不是大小关系，切不可误认为同位角、内错角一定相等，同旁内角一定互补.

二、 平行线的判定

（1） 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行.

简单说成：同位角相等，两直线平行.

如图2，若∠1=∠2，则a∥b.

（2） 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行.

简单说成：内错角相等，两直线平行.

如图2，若∠3=∠4，则a∥b.

（3） 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行.

简单说成：同旁内角互补，两直线平行.

如图2，若∠3+∠2=180°，则a∥b.

例1 如图3，（1）∵∠1=∠B，

∴_______∥_______（ ）.

（2） ∵∠2=∠3，

∴_______∥_______（ ）.

（3） ∵∠BAD+∠D=180°，

∴_______∥_______（ ）.

【答案】AD，BC，同位角相等，两直线平行；AB，DC，内错角相等，两直线平行；AB，DC，同旁内角互补，两直线平行.

【点评】在运用平行线的判定时，一定要看清楚是哪两条直线被哪一条直线所截而成的同位角相等，或内错角相等，或同旁内角互补，只有这样才能正确判断是哪两条直线平行.

三、 平行线的性质

（1） 两直线平行，同位角相等.如图4，若a∥b，则∠1=∠2.

（2） 两直线平行，内错角相等.如图4，若a∥b，则∠3=∠4.

（3） 两直线平行，同旁内角互补.如图4，若a∥b，则∠2+∠3=180°.

例2 如图5，DE∥AC，∠1=∠2， ∠ABC=50°，将求∠FAB的过程填写完整.

∵DE∥AC，

∴∠1=_______（ ）.

∵∠1=∠2，∴∠2=_______，

∴AF∥_______（ ），

∴∠ABC+_______=180°（ ）.

∵∠ABC=50°，∴∠FAB=_______.

【答案】∠C，两直线平行，同位角相等， ∠C， BC ，内错角相等，两直线平行，∠FAB，两直线平行，同旁内角互补，130°.

【点评】平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来找角的数量关系.见到特殊位置的角相等或互补，就应该想一想是否有平行线，反之，遇到直线平行就应联想到角相等或互补.

四、 图形的平移

在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫作图形的平移.

（1） 图形平移过程中的不变因素：形状、大小.

（2） 图形平移的两个要素：平移的方向、平移的距离.

（3） 图形平移的性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一直线上）且相等.

五、 三角形中的有关概念和性质

1. 三角形的三边关系：三角形的任意两边大于第三边.

2. 三角形的三线

（1） 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高.

①锐角三角形三条高都落在三角形的内部；直角三角形有两条高恰好是它的两条边，另一条高在三角形的内部；钝角三角形中，有两条高在三角形的外部，另一条在三角形的内部.

②三角形的三条高或者它们的延长线交于一点.

（2） 三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它的对边中点的线段，叫作三角形的中线. 三角形的三条中线相交于一点.

（3） 三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.三角形的三条角平分线相交于一点.

例3 下列长度的3根小木棒能搭成三角形吗？

（1） 3 cm，5 cm，10 cm

（2） 5 cm，4 cm，9 cm

（3） 4 cm，6 cm，9 cm

【答案】（1） 不能，∵3+5<10；（2） 不能，∵5+4=9；（3） 能，∵4+6>9.

【点评】判定给定三条线段能否构成一个三角形，看较小两边的和是否大于最长边.

六、 多边形的内角和与外角和

n边形的内角和等于（n-2）·180°；多边形的外角和等于360°.

例4 小明从点A出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米后向左转30°……照这样走下去，小明第一次回到出发点A，一共走了多少米？

【答案】120米.

【点评】由“多边形的外角和公式”，可得小明走过的路线为十二边形的周长，因此小明共走了120米.

（作者单位：江苏省丹阳市华南实验学校）