从平衡的角度认识分式

张丹（湖北省十堰市竹山县宝丰镇宝丰中学）

从平衡的角度认识分式

张丹
（湖北省十堰市竹山县宝丰镇宝丰中学）

分式的认识和运算在初中数学课程中占有重要的地位，以平衡这一概念为逻辑起点，可以更为方便有效地促进学生学习效果的改善与提升。从分式的约分、公分、加减乘除四则运算等角度进行分析，探究以平衡为基本概念的学习方法和技巧。希望通过这一尝试和探究，为相关的教学活动提供一定的参考和借鉴。

分式；平衡；学习方法；数学运算

从某种角度分析，分式是高等数学运算的重要基础。如何有效地将分式的概念和运算规则等介绍给学生，是教学过程中最为本质的问题。面对繁复多样的分式，许多学生感到眼花缭乱，不知从何入手进行分解和计算。实际上，从平衡的角度出发，许多看似复杂纷乱的分式，都可以迎刃而解。

一、借助平衡概念去分析约分过程

在了解分式的基本概念之后，对分式进行约分成为一项基本的锻炼。实际上约分的本质过程就是将分子与分母之间的相同因数相除，精简分式的表现形式。而其中最为根本的原则就是保持分式的值没有发生改变，也就是始终保持了平衡，分子与分母之间的比例关系恒定。所谓“万变不离其宗”，不管如何复杂的分式，在进行约分的过程中，只要尽可能地去寻找分子与分母之间的相同因数，并同时除去，则约分一定会彻底完成。针对约分过程中出现的几种基本类型，教师可以与学生共同归纳，将“单项式/单项式、单项式/多项式、多项式/单项式、多项式/多项式”几种类型进行逐一分析，可以保证分式的“值”不变，也就是保证了“分数线的平衡”。比如，针对分式，教师在引导学生进行约分时，需要从“字母”“常数”“因式”“指数”“正负数”等几个维度进行综合考虑，每一项都要兼顾到，每一项都完成对应的分析与运算，则仍然保证分式的平衡。对于多项式而言，也同样适用，通过化繁为简的方式，利用“括号”的方式，将每个具有相同因数的项进行分解，然后通过平衡的概念进行相应的运算，结果自然会得出。

二、通过平衡概念去处理加减运算

相对应约分而言，通过平衡概念实现通分活动，并以此为基础进行加减运算，则显得更为复杂，当然也相对更为有趣。在处理通分的过程中，实际上对于学生而言最困难的仍然时“平衡”概念的掌握。分母不同的两个分式之间，如果需要进行加减运算，则必须经过通分，保证分母相同。通过计算最小公分母，完成分式中相应分子的变化过程。在这里需要突出强调的就是“每一个分子的变化与其分母都是同步，同值的”，也就是说仍然要保证通分之后，每个分式的值始终不变。这也就是强调“平衡”这一根本概念。比如在计算的过程中，需要完成通分的首要步骤就是寻找最小公分母，由于两个分式的分母没有任何相同因式，则只能进行分母相乘，完成通分。而这个过程中最重要的就是保证分子也同时乘与分母相同的因数，仍然保证分式的值没有发生任何变化。换个角度分析，两个独立的分式无论如何变化，始终不变的是分子与分母的比值。掌握这一平衡概念，则只需要按照四则运算的法则，逐步计算就可以了。平衡概念非常容易理解，但是在实际应用中，却经常为学生所忽略，因此，教师在日常教学活动中，应当有意识地进行渗透和强化，使其在每个环节和步骤都牢记平衡的概念。

三、依托平衡概念去解决指数问题

分式的乘除运算相对来讲更为复杂，但是从平衡的概念出发，仍然不过是改变了运算的方法罢了，每个分式在参与运算之前，无论经过何种形式变换，其值始终不变。比如对进行运算的过程中，教师同样需要引导学生从平衡的角度去考虑解决问题的方法与路径。类似这样的运算实际上最主要的运算过程在于指数的变化。每一次指数的变化一定要保持平衡，分子与分母同时增加或消减相应的指数。该题中，分子与分母本身就是x、y，那么运算时，将x、y看作常数，无需考虑，而指数则进行加减乘除活动。最终的计算变为分子与分母指数的加减活动，可以顺利得出结果。平衡概念在分式的乘除运算中除了简单的单项式中字母指数的加减乘除外，对于更为复杂的多项式也同样适用，不过是将作为除数的多项式分子与分母位置对调，最后与作为被除数的分式进行分子与分子相乘，分母与分母相乘的结果，最终再通过约分，获得最简值的结果。

在初中的分式学习过程中，平衡是一个最为基本也最为重要的概念，教师需要在教学过程中坚持这一原则，并反复向学生强化这种概念，在坚持这一概念的基础上，剩余的运算活动就会变得非常初级和简单。在进行平衡概念的宣传与介绍过程中，教师应尽量避免简单枯燥的连续重复，而应根据不同的情况灵活介绍给学生，力求使学生在轻松愉快的氛围内掌握这一概念。

曹莹莹.参与意识在初中数学教学中的培养［J］.中国科教创新导刊，2013（15）.

·编辑 姚晓媛