“三角形的面积” 教学纪实与评析

柴妍　曲欣

教学内容：人教版五年级上册第六单元 “三角形的面积”。

教学目标：

1.理解三角形面积计算公式的推导过程，掌握三角形的面积公式，并能运用公式解决简单的实际问题。

2.经历动手操作、观察、分析、归纳等数学活动，探索三角形的面积公式的推导方法，积累数学活动经验，发展空间观念。

3.在自主探究与合作交流中体验学习数学知识、解决实际问题的乐趣，进一步体会转化的数学思想。

教学重点：探索并掌握三角形面积的计算公式，并能正确运用公式解决问题。

教学难点：理解和完整表述三角形面积计算公式的推导过程，进一步体会转化的数学思想。

教学准备：课件、学具袋。

教学过程：

师：同学们，课前我们先来玩一个猜谜游戏，好吗？

师：草原上来了一群羊，猜一个水果名称。

生：草莓。

师：你是怎么想的呢？

生：羊把草都吃没了，所以是“草莓”。

师：这时候又来了一群狼，还猜一个水果名称。

生：杨梅。

师：说说你又是怎么想的。

生：因为狼来了，把羊吃没了，所以是“杨梅”。

师：说得真好。我发现猜第二个谜语时，举手的同学明显增多了，这是为什么呢？

生：因为在第一个谜语的基础上，通过对比，我们就发现规律了。

师：说到问题的关键了，猜第一个谜语的经验帮助我们很快地猜出了第二个谜语。同学们，在学习当中，我们也常常会利用以往的一些学习经验探究新的知识，有这种体会吗？相信学了这节课，你们会有更深刻的体会。

一、创设情境，引入探索

师：老师看到你们胸前都佩戴着鲜艳的红领巾，真精神。你们想过做这样的一条红领巾需要多少面料吗？要想知道需要多少面料，实际上是求什么？

生：求三角形的面积。（师随即板书课题。）

师：在研究三角形面积之前，请大家先来回顾一下平行四边形的面积是什么。我们是如何推导出来的呢？

生：我们是用转化的方式进行推导的，利用剪一剪把它变成了长方形，求出长方形的面积就是平行四边形的面积。

师：这位同学说得非常好，是通过转化的方式进行推导的。我们也利用这样的方法尝试推导一下三角形的面积，好不好？

生：好。

师：我们已经学过了3种图形的面积公式。（出示长方形、正方形、平行四边形的面积公式。）你们能不能大胆猜一猜三角形的面积可能跟什么有关呢？

生1：可能和长方形的面积有关。

生2：可能和平行四边形的面积有关。

生3：可能和它的底和高有关。

师：究竟是不是这样呢？我们一起来探究一下。

师：老师在课前给大家准备了一些三角形的学具，拿出来看看。你们发现都有什么？

生：有两个锐角三角形、两个直角三角形、两个钝角三角形和1把剪刀。

师：好，接下来就请同学们以小组为单位，借助你手中的学具一起来探究三角形的面积公式。

二、猜想验证，探究新知

师：哪个小组到前面来展示一下成果？

师：请同学这样来汇报：我们小组用的是什么样的三角形，是怎么做的。

小组汇报（一）：

生：我们小组用两个锐角三角形拼成了一个平行四边形。

师：老师打断你一下，你用的是两个什么样的锐角三角形呀？

生：相同的。

师：都什么相同？

生：形状、大小都相同。

师：怎么证明给大家看呢？（生将两个三角形叠放在一起。）

师：通过他的操作，你们发现了什么？

生：这两个三角形完全相同。

师：请你把它们贴在黑板上，你发现了什么？

生：我发现平行四边形的底是三角形的底，平行四边形的高也是三角形的高。

师：请把它的高画出来。（生在学具上面画高。）

师：现在利用你的手势语言，再给大家讲一讲。

生：（边指边说。）平行四边形的底就是三角形的底，平行四边形的高就是三角形的高。

师：面积之间有什么关系呢？

生：两个完全相同的三角形的面积就是平行四边形的面积，1个三角形的面积就是平行四边形的面积除以2，所以三角形的面积就是“底×高÷2”。

师：讲得真清楚。我们一起来读一读。

生：三角形的面积=底×高÷2。

师：同学们，我们为什么要除以2呀？谁能再来说一说。

生1：因为两个三角形的面积才是平行四边形的面积，所以求1个三角形的面积要除以2。

生2：不除以2求的是平行四边形的面积。

师：同学们理解得很到位。刚刚这一组同学用的是两个完全相同的锐角三角形拼成了平行四边形，得到了三角形的面积公式。其他小组还有不同的方法吗？说一说你们小组是怎么推导的。

小组汇报（二）：

生：我们小组利用的是两个完全相同的直角三角形拼成了一个长方形。长方形的长就是三角形的底，长方形的宽就是三角形的高。因为长方形的面积=长×宽，两个完全相同的直角三角形的面积是长方形的面积，所以三角形的面积=长×宽÷2，也就是底×高÷2。

师：思路真清晰，掌声送给他。其他小组呢？还有不同方式吗？

小组汇报（三）：

生：我们小组利用的是两个完全相同的钝角三角形拼成一个平行四边形。我们发现平行四边形的底就是三角形的底，平行四边形的高就是三角形的高。从平行四边形的面积=底×高，我们可以推导出三角形的面积=底×高÷2。因为平行四边形是由2个完全相同的钝角三角形拼成的。

师：你的数学语言可真严密，大家听明白了吗？同学们，我们一起来回顾一下这3组同学的推导过程。他们都是把两个完全相同的三角形通过拼摆的方式转化成了我们已经学过的平行四边形和长方形，从而推导出公式来的。为什么要拼成平行四边形或长方形？

生：因为平行四边形、长方形的面积公式我们学过了，可以借助它们的面积来推导三角形的面积。

师：借助旧知来学习新知，是一种有效的数学学习方法。你们还有其他的推导方法吗？（生展示“折叠”法。）

师：同学们，除了拼摆、折叠，还有其他的方法，想知道吗？（出示微课： 割补法推导三角形的面积）

师：通过观看微课，这里又介绍了一种推导方法，是什么呀？

生：割补法。

师：你们真了不起！那你们知道吗，今天我们一起动手推导出来的三角形面积计算公式，其实在很早以前，我们的祖先就已经发现了，请看大屏幕。（课件出示。）我国古代数学家固然伟大，可是我们五年五班的同学同样也很了不起，我们不也找到三角形面积的计算方法了吗？来，把最热烈的掌声送给自己。

师：为了书写更方便一些，三角形的公式我们可以用什么表示？谁来说一说？

生：字母。面积用S表示，底用a表示，高用h表示，所以 S=ah÷2。

师：好，现在我们得到了三角形面积的计算公式，课前这个问题能解决了吗？

生：能。

师：你们需要老师给出什么条件呀？

生：底和高。

师：所以要想求三角形的面积，必须得知道——（生：底和高。）经过测量，我们知道了红领巾底和高的数据。谁来说说，这条红领巾底是多少，高是多少？请你试着做一做吧。（师指名学生上黑板做题。）

师：这里我们要注意，在计算一类图形面积的时候，我们通常要把字母公式写在前面，然后把数据代入到公式中。一定不要忘了我们算的是面积，单位要用面积单位。

三、灵活运用，解决问题

师：接下来请同学们用这种规范的书写格式来算一算下面几个三角形的面积吧。看哪些同学算得又对又快。

1.求下面图形的面积。

（生进行汇报。师引导学生注意求三角形的面积必须除以2。）

2.选择正确条件，口算求出三角形的面积。（单位：米。）

（师引导学生注意求三角形的面积时，底和高要一一对应。）

3.学校要在一块三角形空地上种草坪，它的底是16m，高是8m。1m2草坪的价格是10元。种这片草坪需要多少钱？

4.下图中哪个三角形的面积与涂颜色的三角形的面积相等？为什么？你能在图中再画出一个与涂颜色的三角形的面积相等的三角形吗？试试看。

（师引导学生总结“同底等高的三角形面积相等”。）

四、总结全课，畅谈收获

师：这节课，我们通过拼摆、割补、折叠等方法，利用转化的数学思想推导出了三角形面积的计算公式。这种转化思想能帮助我们找到探究问题的方向，接下来我们还要学习梯形的面积以及组合图形的面积，相信同学们今后能运用这一数学思想探究和解决更多的数学问题。

评析：

“三角形的面积”是在学生已经经历了平行四边形面积公式的推导过程后学习的。在本节课中，柴老师注重通过自主探索、合作交流、比较反思等活动，帮助学生理解三角形的面积公式的推导过程。本课在发展学生空间观念的同时，注重渗透解决问题的思考策略和转化的数学思想，培养了学生解决问题的能力。

一、创设现实情境，激发学习兴趣

数学源于生活，又服务于生活，两者相互依存。心理学研究表明，当学习内容和学生熟悉的生活实际越贴近，学生主动学习的积极性就越高，学生才能学得兴趣盎然。柴老师根据这一特点，创设了“制作一条红领巾需要多少面料”这样现实的问题情境，激发了学生主动学习的内驱力，使学生积极投入到三角形面积的学习探索活动中。

二、借助已有经验，探究面积公式

《数学课程标准（2011年版）》要求学生在数学学习活动中，不断积累基本活动经验。数学基本活动经验的核心是思考的经验，是思维的经验。学生在学习平行四边形面积时，积累了利用割补的方法，将平行四边形转化成长方形，从而推导出平行四边形面积计算公式的思考经验。在本节课教学中，教师大胆放手，为学生提供了自主探索、合作交流的时间和空间，学生借助已有的活动经验，运用转化的方法，探究推导三角形面积的计算公式。学生选择将两个完全一样的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形自由地拼成平行四边形，将三角形转化成学过的平行四边形或长方形。在动手操作实验的过程中，教师引导学生发现了三角形的底、高、面积和平行四边形的底、高、面积之间的关系，逐步推导出三角形的面积计算公式。学生在探究的过程中，体会到了思维的灵活和方法的多样，使数学活动经验得到了进一步提升。

三、点拨在关键处，加深认识理解

学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者、合作者。教师的引导和点拨要在关键处，才能使学生的学习更加有效，对新知识的理解更加深入。柴老师在学生利用两个完全一样的三角形拼成平行四边形或长方形推导出三角形面积公式后，适时点拨学生：“为什么要拼成平行四边形或长方形？” “三角形的面积=底×高÷2，为什么要除以2？”这两个问题是推导三角形面积公式思考的关键。教师通过这样的点拨很好发挥了引导作用。学生通过回答，也加深了对三角形面积公式及推导过程的深入理解。

四、感受数学思想，渗透数学文化

数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识，是数学学习的精髓。柴老师在教学中，紧紧抓住将三角形转化成平行四边形或长方形，再推导面积公式这个基本的思考方法，使学生感受到“转化”和“推理”等数学思想在数学学习过程中的作用，体会到数学思想对数学学习的意义和价值。数学的文化是对学生进行思想教育的最好素材，当数学文化的魅力真正渗入教材、到达课堂、融入教学时，学生会进一步理解数学、喜欢数学、热爱数学。